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Corrig´e Statistiques inf´erentielle parpar Pierre Veuillez
1 Intervalle de confiance.
Exercice
D´eterminer une valeur approch´ee de la loi de la moyenne empirique : E?X n?=E(X), V?X n?=1nV(X) doncX
n?→≂N?E(X),1n V(X)?2 Exercices
2.1 Variance
SoitXayant une esp´erancemet une variancev, savariance empiriqueestWn=1n ?X2i-X n2 avecX nla moyenne empirique deXet1n ?X2ila moyenne empirique deX2.1. SoitYayant une esp´erance et une variance. CalculerE(Y2) en fonctionE(Y) etV(Y)
2. CalculerE?X
n?etV?X n?et en d´eduireE?X n2?3. Montrer enfin queE(Wn) =n-1n
V(X) et en d´eduire un estimateur sans biais de la variance.Solution
1.V(Y) =E(Y2)-E(X)2doncE(Y2) =V(Y) +E(Y)2
2.E?X n?=metV?X n?=1n vdoncE?X n2? 1n v+m23.E(Wn) =1n
?E(X2i) =1n n(v+m2)-?1n v+m2?=?1-1n ?v=n-1n vD"o`uE?n-1n
Wn?=vetn-1n
Wnvariance empirique sans biais est un estimateur sans biais de la variance.2.2 Question confidentielle.
Certains sujets abord´es dans les enquˆetes d"opinion sont parfois assez intimes, et on court le risque
que les personnes interrog´ees se refusent `a r´epondre franchement `a l"enquˆeteur, faussant ainsi le
r´esultat.On peut alors avoir recours `a une astuce consistant `a inverser al´eatoirement les r´eponses .
Consid´erons une question confidentielle pour laquelle on veut estimer la probabilit´epde r´eponses
positives. L"enquˆeteur demande `a chaque personne interrog´ee de lancer un d´e. •Si le d´e tombe sur , la personne doit donner sa r´eponse sans mentir, •sinon elle doit donner l"opinion contraire `a la sienne.Si l"enquˆeteur ignore le r´esultat du d´e, il ne pourra pas savoir si la r´eponse est franche ou non, et on
peut esp´erer que la personne sond´ee acceptera de jouer le jeu.G´en´eralisons l´eg`erement la situation en tirant pour chaque personne une variable de Bernoulli de
param`etreα.CoursEstimation-c Page 1/ 12 •Si le r´esultat de cette variable est 1, la r´eponse est franche, •sinon, elle est invers´ee.Soitnle nombre de personnes interrog´ees.
L"enquˆeteur ne recueille que la fr´equence empiriqueFndes "oui".1. Montrer que la probabilit´e de "oui" `a l"issue de la proc´edure estq=αp+ (1-α)(1-p)
2. Montrer queFn, la fr´equence observ´ee par l"enquˆeteur, est un estimateur sans biais deqet de
risque quadratique tendant vers 0 quandntend vers +∞3. Pourα?= 1/2 exprimerpen en fonction deq.
4. En d´eduire queTn=Fn-1+α2α-1est un estimateur sans biais depdont le risque quadratique tend
vers 0 quandntend vers +∞.5. Pournfix´e, quelle valeur attribuer `aαpour que le risque quadratique soit minimum ? Est-ce
acceptable ? Pour quelle valeur deαce risque est-il maximum ? Quel sera le risque quadratique avec le d´e (α= 1/6)2.3 Loi uniforme
SoitXde loiU[0,a] et (X1,...Xn) unen-´echantillon de variables. Etimation dea:Xa une esp´erance dea/2.SoitX
nla moyenne empirique.1. SoitTn= 2X
n. Montrer queTnest sans biais et d´eterminer son risque quadratique2. SoitT?n= max(X1,...,Xn)
D´eterminer la fonction de r´epartition deXpuis celle deT?n En d´eduire sa densit´e puis son biais et son risque quadratique.3. SoitT??n=n+1n
T?nd´eterminer son biais et son risque quadratique.4. Quel est le meilleur estimateur deapour de grandes valeurs den?
solution: 1.X n=1n n i=1XidoncE?X n?=1n n i=1E(Xi) =a2 d"o`uE(Tn) = 2a2 =aetTnest sans biais. V?X n?=1n 2?n i=1V(Xi) car les (Xi) sont ind´ependantes.E(X2i) =?a
01a t2dt=1a [t3/3]a 0=a23 doncV(Xi) =a23 -a24 =a212 d"o`uV?X n?=na212n2.La variance deTn= 2X
nest alorsV(Tn) = 4V?X n?=a23net donc son risque quadratique est a23n+ 02=a23n
2. La fonction de r´epartitionFdeXest :F(x) =?x
-∞f(t)dt=? ?0 six <0?x 01a dt=xa six?[0,a]1 six > a
deX,etGcelle deT?non a alorsCoursEstimation-c Page 2/ 12G(t) =F(t)n.
Fest continue surRetC1sauf en 0 etadoncG´egalement etT?nest `a densit´e de densit´e : g(t) =G?(t) =nf(t)Fn-1(t) =?0 six /?[0,a] na xa n-1six?[0,a]L"esp´erance (qui existe) deT?nest alors?a
0tg(t)dt=?a
0na ntndt=?nn+11a ntn+1?a0=nn+1a
DoncT?na pour biais?nn+1-1?a=-an
(biais´e mais son biais tend vers 0 quandn→+∞)L"esp´erance (qui existe) deT?n2est?a
0t2g(t)dt=?a
0na ntn+1dt=?nn+21a ntn+2?a0=nn+2a2
Donc la variance deT?nest
V(T?n) =E?
T ?n2? -E(T?n)2=nn+ 2a2-?nn+ 1? 2 a2=n(n+ 1)2(n+ 2)a2
et son risque quadratique estr?=V(T?n) +b2=n(n+1)2(n+2)a2+1n 2a2=? n(n+1)2(n+2)+1n 2? a2≂
2n 2a23. AlorsT??n=n+1n
T?na pour esp´erancen+1n
E(T?n) =adoncT??nest sans biais.
Sa variance estV(T??n) =?n+1n
2V(T?n) =1n(n+2)a2et a pour risque quadratiquer??=1n(n+2)a2≂
1n2a2ce qui est (pourngrand) deux fois mieux queT?n.
4. Donc pour de grandes valeurs den, T??nest le meilleur estimateur dea.
2.4 Intervalle de confiance pour le param`etre d"une variable de Bernouilli.
Lors d"un sondage sur 100 personnes interrog´ee, 60 pensent voter pourAOn mod´elise le choix par un ´echantillon (X1,...,X100) de variable ind´ependantes de mˆeme loi de
Bernouilli de param`etrep.
On cherche `a d´eterminer un intervalle de confiance pourpau niveau de confiance 99% (1% de risque)
1. D´eterminer l"esp´erance et la variance de la fr´equence empiriqueF=1100
100i=1Xi?
2. On noteF?la fr´equence empirique centr´ee r´eduite.
Par quelle loi peut on approcher celle deF?? On suppose d´esormais queF?suitN(0,1)F-t⎷p(1-p)10
0,99 et en d´eduire que [F-t/20;F+t/20] est un intervalle de confiance depau niveau de confiance 99%CoursEstimation-c Page 3/ 12Solution
1. On aE(F100) =E?1100
100i=1Xi?=1100 100
i=0E(Xi) =1100
100p=p
DoncFnest un estimateur sans biais dep
2. Somme de variables ind´ependantes de mˆeme loiB(1,p) :V(Xi) =p(1-p)?= 0 etE(Xi) =p
Donc avecF=1100
100i=1Xi, F?peut ˆetre approch´ee par une loi Normale centr´ee r´eduite.
V(F) =1100
2?100 i=1V(Xi) car les (Xi)isont ind´ependantes. DoncV(F) =1100 p(1-p) et F ?=F-p?p(1-p)100 =10⎷p(1-p)(F-p) la fr´equence empirique centr´ee r´eduite suit approximativement une loiN(0,1) On r´esout : 2Φ(t)-1 = 0,99??Φ(t)≥0,995 et on lit sur la table de la lo Normale pour t= 2,58 N.B. premi`ere transformation `a connaˆıtre : -t?p(1-p)10F-t?p(1-p)10
Donc P
F n-t⎷p(1-p)10 ≥0,994. On ´etudie les variations def(p) =p(1-p).
fest d´erivable surRetf?(p) = 1-p-p= 1-2pp0 1/2 1fOn a alors
doncN.B. seconde transformation `a connaˆıtre :
F n-t⎷p(1-p)10 ??Fn-t120 P F n-t⎷p(1-p)20 ≥0,99 Donc [Fn-t/20 ;Fn+t/20] est un intervalle de confiance depau niveau de confiance 99% soit avec l"´echantillon de donn´ees : ˆp= 0,6 t/20?0,13,l"intervalle de confiance au niveau 99% est [0,47; 0,73] ... ce qui ne renseigne pas beaucoup sur les chances de remporter l"´election.. Avec un ´echantillon de taille 10000, on trouvera l"intervalle [Fn-t/200, Fn+t/200] soit une largeur d"intervalle proche de 5% pour un niveau de confiance de 99%.CoursEstimation-c Page 4/ 12 Avec un niveau de confiance de 95%, on at= 1,96 et pourn= 1000 on at⎷p(1-p)⎷1000c"est la classique des sondages : pour un ´echantillon de 1000 personne, le r´esultat est donn´e
avec un intervalle de confiance de 3% (ce que ne disent pas les sondeurs, c"est que cela n"est sˆur qu"`a 95% : il y a 5% de chance que la valeur r´eelle soit hors de cet intervalle de2.5 Intervalle de confiance par Bienaym´e-Tchebichev
Soita??0;2⎷3
?, X ?→ U[0,a]et (X1...Xn) unn-echantillon de variables de mˆeme loi queXet ind´ependantes.On cherche un intervalle de confiance de
a2 au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).On noteX
nla moyenne empirique1. Rappeler la moyennemdeXet montrer queV(X) =a212
. En d´eduire la moyenne et l"esp´erance deX n.2. En d´eduire que P
???X n-a23. D´eterminer enfinnpour que?X
n-0,1;X n+ 0,1?soit un intervalle de confiance dea2 au niveau de confiance 99%4. Ecrire un programme PASCAL qui
•choisit un nombreaau hasard dans?0;2⎷3 •effectue 10000 tirages dans [0,a] •calcule et affiche la moyenne des r´esultats obtenus.Le programme a affich´e 0,534.
•Pensez vous quea2 = 0,534 ? •Pensez vous quea2 >0,7 ? •Pensez vous quea2 ?[0,43; 0,64] ?5. Par quelle loi peut-on approcher celle deX
1000?6. D´eterminertpour que P?
a 100?Xn-a2 ?< t? ≥0,99 et en d´eduire un autre intervalle de confiance de a2 au niveauα
Solution
Soita??0;2⎷3
?, X ?→ U[0,a]et (X1...Xn) unn´echantillon de variables de mˆeme loi queXet ind´ependantes.On cherche un intervalle de confiance de
a2 au niveau de confiance 99% (niveau de risque 1%).On noteX
nla moyenne empirique1. On aE(X) =a2
Et comme la densit´e deXest nulle hors de [0,a] et vaut1a sur [0,a] on aE(X2) =?a 0t 2a dt=? t33a? a 0=a23 et doncXa une variance qui estV(X) =a23 -?a22=a212
DoncE?X
n?=E?1n n i=1Xi?=1n n i=1E(Xi) =nnE(X) =a2
CoursEstimation-c Page 5/ 12
EtV?X n?=E?1n n i=1Xi?=1n 2?n i=1V(Xi) car lesXisont ind´ependants···=1n2nV(X) =
a 212nRappeler la moyennemdeXet montrer queV(X) =a212
. En d´eduire la moyenne et l"esp´erance deX n.2. D"apr`es l"in´egalit´e de Bienaym´e-Tchebichev on a alors P
???X n-a2 n)0,12= 100a212net n-a2 et P???X n-a21-100n
3. Comme l"´ev´enement???X
n-a2 n-a2 n+ 0,1?Donc pourn= 10000 on a P?X
n+ 0,1?≥1-0,01 et?X n-0,1;X n+ 0,1? est un intervalle de confiance de a2 au niveau de confiance 99%4. Ecrire un programme PASCAL qui
Program estim;
var a,x,s:real;k:integer; begin for k:=1 to 10000 do begin x:=random(a); s:=s+x; end; writeln("la moyenne est :",s/10000); end.Le programme a affich´e 0,534.
•Chaque valeur a une probabilit´e nulle d"avoir ´et´e choisie ! donca2 ?= 0,534 ? •La probabilit´e quea2 soit dans l"intervalle [0,534-0,1 ; 0,534 + 0,1] est sup´erieure `a 99%. Donc la probabilit´e qu"il soit>0,7 est de moins de 1%.Je ne pense donc pas quea/2>0,7 •La probabilit´e dea2 ?[0,43; 0,64] est sup´erieure `a 99%. Je pense donc que oui. (et j"ai moins de 1% de chances de me tromper ...)5. La loi
?n i=1Xisomme de variables ind´ependantes de mˆeme loi qui a pour esp´erancena2 , et pour variancena212 DOnc centre´ee r´eduite, elle peut ˆetre approch´ee par une loiN(0,1) etX n?=X n-a/2⎷ a2/12npar
N(0,1)
6. Et pourn= 10000 : P?
a 100?Xn-a2 ?< t? ?Φ(t)-Φ(-t) = 2Φ(t)-1 On a? a 100?X
n-a2 ?< t? =?X n-ta100 ⎷12
(soit une pr´ecision quatre fois meilleure qu"avec la formule de Bienaym´e-Tchebichev)CoursEstimation-c Page 7/ 12
2.6 Comptage par capture et recapture
On cherche `a ´evaluer le nombreNde poissons dans un ´etang.Pour cela, on pr´el`eve dans l"´etangmpoissons que l"on bague avant les remettre dans l"´etang.
On propose deux m´ethodes diff´erentes d"estimation deN.M´ethode 1
Soitn?N?,n≥m.
On pr´el`eve des poissons dans l"´etang, au hasard et avec remise.On noteXnla variable al´eatoire ´egale au nombre de poissons qu"il a ´et´e n´ecessaire de pˆecher pour
obtenirnpoissons marqu´es. Pour touti?[2,n], on poseDi=Xi-Xi-1. On poseD1=X1et on suppose que lesDisont des variables ind´ependantes.1. a) Pour touti?[2,n],quelle est la signification deDi?
b) D´eterminer, pouri?[2,n], la loi deDi, son esp´erance et sa variance. En d´eduire l"esp´erance et la variance deXn. c) On poseAn=mn Xn. Montrer queAnest un estimateur sans biais deNet d´eterminer son risque quadratique.2. a) Pournassez grand, par quelle loi peut-on approcher la loi de la variable al´eatoireX
n=Xnn (on utilisera le th´eor`eme de la limite centr´ee)?b) On a marqu´e 200 poissons puis effectu´e 450 pr´el`evements pour obtenir 50 poissons marqu´es.
D´eterminer en fonction deσ, un intervalle de confiance pourNau seuil 0.9 (On donneΦ(1,64)?0,95).
M´ethode 2
On pr´el`eve successivement et avec remisenpoissons. SoitYnle nombre de poissons marqu´es parmi
eux.