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EXERCICE CORRIGÉ TYPE : INTERVALLE DE CONFIANCE On commence par rappeler le théorème de la limite centrale Théoreme 1(limite centrale).Soit(Xn)une suite de v.a. i.i.d. d"espérance commune et de variance commune2<1. Alors S nnpn

2! N(0;1):

Exercice :La société Audimat, désirant évaluer la proportionpde téléspectateurs

regardant une certaine émission de télévision, interrogentéléspectateurs par télé-

phone. On noteXla v.a. qui, à tout individu, fait correspondre le nombre1s"il a regardé l"émission, et0sinon. On note(X1;:::;Xn), len-échantillon deXainsi obtenu;Xiétant la réponse de l"individu numérotéi. Le but est d"estimer la proportionp, en donnant un intervalle de confiance au risque, avec2]0;1["petit» (typiquement= 5%ou= 1%). Xsuit une loi de Bernoulli de paramètrep. Donc, pour touti, on aXi B(p).

On utilise l"estimateur suivant pourp:

^pn=1n n X i=1X i: (à (re)faire : calculer son biais et son risque quadratique.) On cherche un intervalle de confianceIpourpde sorte que :

Pfp2Ig 1 :

avec2[0;1]fixé. Plus précisément, on a de bonnes raisons de penser que^pnsoit une bonne es- timation du paramètrep. On va donc chercher cet intervalle sous la formeI= [^pt; ^p+t]oùt2R+. On cherche alorsttel que

Pfp2[^pnt; ^pn+t]g 1,Pfj^pnpj< tg 1

,P( j^pnpjpp(1p)=nPfjZj< zg= 1 : La valeur deznous est donnée par les tables de la loi normale. Par exemple, si = 0:95, alorsz= 1:96. Si= 0:99, alorsz= 2:57.zest donc maintenant connu, et on peut poursuivre le calcul. On a donc : 1

Licence MASS Statistiques

P j^pnpjpp(1p)=n2[0:127;0:272]:

Si on avait fixé= 5%, on aurait trouvé

p2[0:144;0:255]: Il faut ici comprendre que si on refait la même expérience (compter le nombre de personnes ayant regardé l"émission sur200personnes interrogées au hasard) un grand nombre de fois,99%(ou95%, selon le choix de) des intervalles de confiance obtenus contiennent la vraie valeur dep. Il s"agit donc bien d"un pari que l"on fait sur notre échantillon. Il est tout à fait possible que nous n"ayons pas de chance, et que notre échantillon de données soit parmi les1%(ou5%selon) de "mauvais» échantillons. 2quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26