factorielle par 5 puis de prendre la troncature à l'unité du quotient : 2 5 =1 5 5 1 1 2 1 0 0 4 3 3 3 0 9 8 5 9 8 40 0 0 0 0 0 N Nombre de zéros N Nombre de
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0 = 1 Calcul de la factorielle d'un entier naturel (avec une structure itérative Le début de la suite (infinie) des nombres premiers est : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,
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k + 1 ) (formule du triangle de Pascal) Pour calculer (n k ) pour de petites valeurs de k et n, on peut utiliser le triangle de Pascal : aaak n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0
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si 5 divise m1 alors 2 ne divise pas m1 (sinon il y aurait un 0 de plus) et de même si 2 divise m1 alors 5 ne divise pas m1 Donc m = 2k1 × 5k2 ×··· avec k
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factorielle par 5 puis de prendre la troncature à l'unité du quotient : 2 5 =1 5 5 1 1 2 1 0 0 4 3 3 3 0 9 8 5 9 8 40 0 0 0 0 0 N Nombre de zéros N Nombre de
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1 2 3 4 5 6 7 7 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = Définition : Soit n un nombre entier positif On définit « n factoriel » par : 1 2 3 ( 1) n n n = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ si 0 n > 0 1 =
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if (x >= 0 ) return x; else return -x; } Exercice 1 Fonction factorielle et coefficients du binôme de Newton La fonction pour calculer la factorielle d'un entier est
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19 oct 2011 · 5 Perspectives de recherche Adrien Fontaine Factorielles n−1 ∏ k=0 n pgcd(n,k) Adrien Fontaine Factorielles généralisées de Bhargava
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obtenue eu intégrant terme à terme de ,5=0 à z =ï notre série susdite représente précisément l'intégrale de la fonction figurant au premier membre de (y)
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k=1 k =123··· (n − 2) (n − 1) n Il est souvent utile d'étendre la définition de la factorielle en convenant que 0 = 1 Voici les premières valeurs n 0 1 2 3 4 5 6 7
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Par combien de zéros
se termine N! ? par É des collèges André Doucet deNanterre et Victor Hugo de Noisy le Grand
enseignants : Danielle Buteau, MartineBrunstein, Marie-Christine Chanudeaud,
Pierre Lévy
chercheur : Jacqueline Zizi N! se lit Òfactorielle NÓ. N est un entier posi- tif et N! est le produit de tous les entiers dans l'ordre croissant de 1 à N.Voici quelques exemples :
1! = 1 ;
2! = 1 ´2 = 2 ;
3! = 1 ´2 ´3 = 6 ;
4! = 1 ´2 ´3 ´4 = 24 ;
5! = 1 ´2 ´3 ´4 ´5 = 120 ;
10! = 1 ´2 ´... ´9 ´10 = 3 628 800
On comprend vite comment construire des
factorielles, mais par contre on s'aperçoit aussi que l'on obtient rapidement de grands nombres.5! se termine par un zéro, 10! par deux mais
par contre 1!, 2!, 3!, 4! par aucun. La ques- tion est donc de savoir s'il est possible de prévoir pour n'importe quel entier N le nombre de zéros à la fin de N!.Nous avons commencé par calculer les facto-
rielles les unes après les autres à l'aide de notre calculatrice. Mais très vite, nous n'avions plus le résultat exact, car la capacité de la machine ne lui permettait plus d'aff i- cher tous les chiffres. Il a fallu alors faire les calculs à la main. C'était long et fastidieux !Nous avons bien essayé de programmer un
ordinateur pour lui faire faire ce travail. Voici notre algorithme : sinon alors f ´ n ® f n + 1 ® nN! = f ´ n
f = 1 ; n = 1Si N = n
FINChoisir un nombre N
La recherche à l'école Épage 79
Congrès ÒMATh.en.JEANSÓ à l'Ecole Polytechnique les 23, 24, 25, 26 avril 1993Notre professeur a alors traduit cet algorith-
me en Turbo Pascal ; notre déception fut immense lorsqu'on s'aperçut que l'ordinateur se montrait tout aussi incapable de calculer n'importe quelle factorielle qu'une vulgaire calculatrice un tout petit peu évoluée.Nous avons repris nos calculs à la main
jusqu'à 25! et c'est alors que nous avons constaté que 5! se termine par un zéroainsi que 6!, 7!, 8! et 9! ; que 10! se termine par deux zérosainsi que 11!, 12!, 13! et 14! ; que15! se termine par trois zérosainsi que 16!,
17!, 18! et 19! ; que 20! se termine par
quatre zérosainsi que 21!, 22!, 23! et 24!. Notre première conjecture était qu'il suffisait de diviser le nombre dont on veut calculer la factorielle par 5 puis de prendre la troncatureà l'unité du quotient :
par exemple :16 : 5 = 3,2 alors le nombre de zéros à la fin
de 16! serait de 327 : 5 = 5,4 alors le nombre de zéros à la fin
de 24! serait de 5Mais nos calculs nous montrent que 25! se
termine par six zéro set non cinq comme prévu, de même que 26!, 27!, 28! et 29!. Après avoir constaté qu'à 25! il y avait un ÒsautÓ de 2 zéros, nous avons supposé qu'à chaque factorielle d'un multiple de 5 il y avait un saut de 1 zéro, et qu'à chaque factorielle d'un multiple de 25 il y avait un saut de 2 zéros. Cela nous a permis de faire un premier tableau avec nos prévisions (sans calculer de nouvelles factorielles). Au premier séminaire, nous n'étions pas d'ac- cord entre les deux équipes à partir de 125!.Notre chercheur, Mme Zizi nous a alors
donné des calculs de factorielles aussi grandes que l'on veut faits par un ordinateur (hé oui, cela est possible : il suffit d'avoir les bons outils). Cela a permis de trancher le débat car, comme l'avait supposé une des deux équipes, 125! se termine par 31 zéros c'est-à-dire que 3 zéros supplémentaires apparaissent (au lieu de 2). calculs à la main É 1 !=1 2 !=2 3 !=64 !=2 4
5 !=1 20
6 !=7 2 0
7 !=5 0 4 0
8 !=4 0 3 2 0
9 !=3 6 2 8 8 0
1 0 !=3 6 2 8 80 0
1 1 !=3 9 9 1 6 8 0 0
1 2 !=4 7 9 0 0 1 6 0 0
1 3 !=6 2 2 7 0 2 0 8 0 0
1 4 !=8 7 1 7 8 2 9 1 2 0 0
1 5 !=1 3 0 7 6 7 4 3 6 80 0 0
1 6 !=2 0 9 2 2 7 8 9 8 8 8 0 0 0
1 7 !=3 5 5 6 8 7 4 2 8 0 9 6 0 0 0
1 8 !=6 4 0 2 3 7 3 7 0 5 7 2 8 0 0 0
1 9 !=1 2 1 6 4 5 1 0 0 4 0 8 8 3 2 0 0 0
2 0 !=2 4 3 2 9 0 2 0 0 8 1 7 6 6 40 0 0 0
2 1 !=5 1 0 9 0 9 4 2 1 7 1 7 0 9 4 4 0 0 0 0
2 2 !=1 1 2 4 0 0 0 7 2 7 7 7 7 6 0 7 6 8 0 0 0 0
2 3 !=2 5 8 5 2 0 1 6 7 3 8 8 8 4 9 7 6 6 4 0 0 0 0
2 4 !=6 2 0 4 4 8 4 0 1 7 3 3 2 3 9 4 3 9 3 6 0 0 0 0
2 5 !=1 5 5 1 1 2 1 0 0 4 3 3 3 0 9 8 5 9 8 40 0 0 0 0 0
NNombre de zérosNNombre de zérosNNombre de zérosà la fin de N!à la fin de N!à la fin de N!1 ... 405 ... 91255 ... 25963505 ... 50912510 ... 142260 ... 26464510 ... 51412615 ... 193265 ... 26965515 ... 51912720 ... 244270 ... 27466520 ... 52412825 ... 296275 ... 27968525 ... 52913030 ... 347280 ... 28469530 ... 53413135 ... 398285 ... 28970535 ... 53913240 ... 449290 ... 29471540 ... 54413345 ... 4910295 ... 29972545 ... 54913450 ... 5412300 ... 30474550 ... 55413655 ... 5913305 ... 30975555 ... 55913760 ... 6414310 ... 31476560 ... 56413865 ... 6915315 ... 31977565 ... 56913970 ... 7416320 ... 32478570 ... 57414075 ... 7918325 ... 32980575 ... 57914280 ... 8419330 ... 33481580 ... 58414385. .. 8920335 ... 33982585 ... 58914490 ... 9421340 ... 34483590 ... 59414595 ... 9922345 ... 34984595 ... 599146100 ... 10424350 ... 35486600 ... 604148105 ... 10925355 ... 35987605 ... 609149110 ... 11426360 ... 36488610 ... 614150115 ... 11927365 ... 36989615 ... 619151120 ... 12428370 ... 37490620 ... 624152125 ... 12931375 ... 37993625 ... 629156130 ... 13432380 ... 38494630 ... 634157135 ... 13933385 ... 38995635 ... 639158140 ... 14434390 ... 39496640 ... 644159145 ... 14935395 ... 39997645 ... 649160150 ... 15437400 ... 40499650 ... 654162155 ... 15938405 ... 409100655 ... 659163160 ... 16439410 ... 414101660 ... 664164165 ... 16940415 ... 419102665 ... 669165170 ... 17441420 ... 424103670 ... 674166175 ... 17943425 ... 429105675 ... 679168180 ... 18444430 ... 434106680 ... 684169185 ... 18945435 ... 439107685 ... 689170190 ... 19446440 ... 444108690 ... 694171195 ... 19947445 ... 449109695 ... 699172200 ... 20449450 ... 454111700 ... 704174205 ... 20950455 ... 459112705 ... 709175210 ... 21451460 ... 464113710 ... 714176215 ... 21952465 ... 469114715 ... 719177220 ... 22453470 ... 474115720 ... 724178225 ... 22955475 ... 479117725 ... 729180230 ... 23456480 ... 484118730 ... 734181235 ... 23957485 ... 489119735 ... 739182240 ... 24458490 ... 494120740 ... 744183245 ... 24959495 ... 499121745 ... 749184250 ... 25462500 ... 504124750 ... 754187