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[PDF] FONCTION EXPONENTIELLE - maths et tiques

a) Etudier les limites de f à l'infini b) Calculer la dérivée de la fonction f c) Dresser le tableau de variation de la fonction f d) 

[PDF] FONCTIONS EXPONENTIELLES - maths et tiques

Remarque : Avec la calculatrice, il est possible de calculer des valeurs d'une fonction exponentielle de base q Propriété : La fonction exponentielle de base q est 

[PDF] Fonction exponentielle

L'axe des abscisses est asymptote horizontale à la courbe d'équation y = ex en −∞ Exemple : Calculer lim x→+∞ exp( 1 x ) 

[PDF] La fonction exponentielle - Lycée dAdultes

24 nov 2015 · 2) Calculer f′(x) puis étudier les variations de f 3) Tracer d, ∆ et Cf 4) La courbe semble avoir un point de symétrie Démontrer cette conjecture

[PDF] Étude dune fonction avec exponentielle - Labomath

b) Calculer d(0) puis étudier le signe de d(x) c) En déduire la position relative de Cf et T 6- Tracer les asymptotes trouvées à la question 2, la tangente en 

[PDF] Les Exponentielles

Définition 2 : On appelle fonction exponentielle de base a la fonction définie pour tout réel x par x → ax o`u ax = ex×ln(a) Remarque : Ces fonctions sont des cas 

[PDF] La fonction exponentielle complexe

et différent de 1, x ↦→ loga x = lnx lna , est la fonction exponentielle x ↦→ ex ln a Les fonctions exponentielles poss`edent plusieurs caractérisations 

[PDF] Fonction exponentielle et fonction logarithmique

5 1 rappel (fonctions exponentielle et logarithmique) André Lévesque 5-15 6 Trouver le domaine des fonctions suivantes a) ƒ(x) = e 2x - 1 d) ƒ(x) = 2 ln x 

[PDF] La fonction exponentielle - Maths-francefr

Le chapitre sur la fonction exponentielle est quasiment indissociable du chapitre suivant sur la fonction logarithme népérien I Définition de la fonction 

[PDF] Théorie sur la fonction exponentielle - Sylvain Lacroix

Comment trouver la règle d'une fonction exponentielle f(x) = acbx a = Valeur initiale c = le facteur multiplicatif b = Le nombre de périodes (ou de répétition) 

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DERNIÈRE IMPRESSION LE24 novembre 2015 à 11:22

La fonction exponentielle

Table des matières

1 La fonction exponentielle2

1.1 Définition et théorèmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . 3

1.3 Relation fonctionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4 Autres opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Notation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Étude de la fonction exponentielle5

2.1 Signe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Courbe représentative. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.5 Des limites de référence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.6 Étude d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3 Compléments sur la fonction exponentielle10

3.1 Dérivée de la fonctioneu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2 Exemples types. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.1 Fonctions d"atténuation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.2.2 Chute d"un corps dans un fluide. . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.2.3 Fonctions gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

PAULMILAN1 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

Avant propos

Le but de ce chapitre est de construire une des fonctions mathématiquesles plus importantes. Elle est en effet présente dans toutes les sciences. Sa construction à partir d"une équation différentielle est passionnante, bien qu"historiquement elle ne se soit pas construite ainsi.

1 La fonction exponentielle

1.1 Définition et théorèmes

Théorème 1 :Il existe une unique fonctionfdérivable surRtelle que : f ?=fetf(0) =1 On nomme cette fonction exponentielle et on la note : exp ROCDémonstration :L"existence de cette fonction est admise.

Démontrons l"unicité.

•La fonction exponentielle ne s"annule pas surR. Soit la fonction?définie surRpar :?(x) =f(x)f(-x). Montrons que la fonction?est constante. Pour cela dérivons?. ?(x) =f?(x)f(-x)-f(x)f?(-x)

Commef?=f, on a :

=f(x)f(-x)-f(x)f(-x) =0

Comme??=0 alors la fonction?est constante. Donc :

?x?R?(x) =?(0) =f2(0) =1 On en déduit alors :f(x)f(-x) =1, donc la fonctionfne peut s"annuler. •UnicitéOn suppose que deux fonctionsfetgvérifient les conditions du théorème, soit f=f?,g?=getf(0) =g(0) =1. La fonctiongne s"annule donc pas, on définit alors surRla fonctionhparh=f g. On dériveh: h ?=f?g-fg? g2=fg-fgg2=0

La fonctionhest donc constante eth(x) =f(0)

g(0)=1

On a donc :?x?R,f(x)

g(x)=1. On en déduit quef=g. L"unicité est ainsi prouvée. Nous noterons dans la suite cette fonction exp.

PAULMILAN2 TERMINALES

1. LA FONCTION EXPONENTIELLE

1.2 Approche graphique de la fonction exponentielle

Algorithme :Déterminer un algorithme permettant de visualiser la fonction exponentielle à partir de sa définition sur l"intervalle[-A;A]. On fera une approche de la fonction exponentielle à l"aide d"une approximation affine :f(a+h)≈f(a) +hf?(a). L"approximation sera d"autant meilleure queh sera petit Comme la fonction exponentielle vérifief?=f, cette approximation affine de- vient alors : f(a+h)≈f(a) +hf(a)≈f(a)(1+h) On commence à tracer le point (0; 1) carf(0)=1, puis avec un pasP, on trace de proche en proche les points à droite(X;Z)et les points à gauche(-X;T)du point (0; 1) dans l"intervalle[-A;A].

On obtient la courbe suivante pour :A=2 etP=1/10.

On prendra comme fenêtre :

X?[-2 ; 2]etY?[-0,5 ; 7]

Variables:A,P: entiers

X,Z,T: réels

Entrées et initialisation

LireA,P

0→X

1→Z

1→T

Effacer dessin

Tracer le point(X;Z)

Traitement

pourIde 1 àA/Pfaire

X+P→X

Z(1+P)→Z

T(1-P)→T

Afficher le point(X;Z)

Afficher le point(-X;T)

fin

1.3 Relation fonctionnelle

Théorème 2 :Soitaetbdeux réels, on a alors : exp(a+b) =exp(a)×exp(b) Remarque :Cette relation s"appelle la relation fonctionnelle car on pourrait dé- finir l"exponentielle à partir de cette propriété pour retrouver que l"exponentielle est égale à sa dérivée. Démonstration :Posons la fonctionh(x) =exp(x+a) exp(a). Montrons alors que la fonctionhn"est autre que la fonction exponentielle. Il suffit alors de montrer queh?=heth(0) =1 :

PAULMILAN3 TERMINALES

TABLE DES MATIÈRES

h?(x) =exp?(x+a)exp(a)=exp(x+a)exp(a)=h(x) h(0) =exp(0+a) exp(a)=1 La fonctionhest donc la fonction exponentielle. On en déduit alors : exp(x+a) exp(a)=exp(x)?exp(x+a) =exp(x)×exp(a)

1.4 Autres opérations

Théorème 3 :Soitaetbdeux réels etnun entier naturel, on a alors les relations suivantes : •exp(-a) =1exp(a)•exp(a-b) =exp(a)exp(b)•exp(na) =[exp(a)]n Démonstration :Les démonstrations sont immédiates. La première se montre à l"aide de la fonction?du 1.1 et la dernière propriété se montre par récurrence.

1.5 Notation

Définition 1 :: Du fait des propriétés similaires entre la fonction exponentielle et la fonction puissance, on pose :

•e=exp(1)e≈2,718...•ex=exp(x)

On a ainsi les propriétés :

Remarque :On peut avoir une approximation du nombreeà l"aide de ce petit programme :

On trouve pour :

•P=10-2,E≈2,705

•P=10-3,E≈2,717

Variables:A,P: entiersE: réel

Entrées et initialisation

LireP

1→E

Traitement

pourIde 1 à 1/Pfaire

E(1+P)→E

fin

Sorties: AfficherE

PAULMILAN4 TERMINALES

2. ÉTUDE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE

2 Étude de la fonction exponentielle

2.1 Signe

Théorème 4 :La fonction exponentielle est strictement positive surR Démonstration :On sait que exp(x)?=0 pour tout réel. De plus la fonc- tion exponentielle est continue car dérivable surR. S"il existait un réelatel que exp(a)<0, d"après le théorème des valeurs intermédiaires il existeraitun réelquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3