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Vestiges d"une terminale S - Formule donnant la distance entre un point et un plan dans l"espace rapporté à un repère orthonormé

Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

Formule donnant la distance entre un point et un plan L"espace est rapporté à un repère orthonormé

O; i, j,k? ? ?

La distance entre le point

A A A

A x ;y ;z

et le plan

P d"équation cartésienne

a.x b.y c.z d 0 est donnée par : A A A 2 2 2 a.x b.y c.z d distance A; a b c + +P Rappelons que la distance entre un point A et un ensemble E est la plus petite des distances AM existant entre le point A et chaque point M de E. La formule marche lorsque le point A appartient au plan P. Car alors, les coordonnées du premier vérifient l"équation du second. Donc A A A a.x b.y c.z d 0 . D"où : ( ) A A A

2 2 2 2 2 2

a.x b.y c.z d 0

0 distance A;

a b c a b c+ + + P Dans la démonstration suivante, nous supposerons que le point A n"appartient pas à P. La preuve de la formule 1. Où la distance AM est-elle minimale ? Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances AM où M est un point quelconque de P. A priori, cette distance semble minimale lorsque le point M est le projeté orthogonal H du point A sur le plan P.

Voyons pourquoi il en est ainsi !

Pour tout point N du plan P, le triangle

ANH est rectangle en H.

Donc en application du théorème de

Pythagore, il vient :

2 2 2

AN AH HN

2 HN étant un réel positif ou nul, il vient alors :

2 2 2 2

La racine est une fonction

croissante sur 0; .

AN AH d"où AN AH donc AN AH

Conclusion :

la distance entre le point A et le plan P est égale à la distance existant entre le point A et son projeté orthogonal H sur P.

2. Quelques conséquences

Comme le point H appartient au plan P alors H H H

Ses coordonnées en vérifient l"équation.

a.x b.y c.z d 0 Ensuite, comme nous travaillons dans un repère orthonormé alors un vecteur normal du plan P d"équation a.x b.y c.z d 0 est abc( )( )( )( )( )n?.

3. La dernière phase : un produit scalaire de deux manières

Le produit scalaire

.AHn????? peut se calculer de deux manières : Avec les coordonnées car nous évoluons dans un repère orthonormé : H A

H A H A H A H A

H A

H H H A A A A A A

d

Car le point H appartient à

a x x .AH b . y y a x x b y y c z z c z za.x b.y c.z a.x b.y c.z a.x b.y c.z d n????? P ? En utilisant le fait que les vecteurs n? et

AH????

ont même direction (mais pas nécessairement même sens)

En effet, tout deux sont normaux

ou orthogonaux au plan P. Le plus ou moins indiquesi les vecteurs ont même sens. 2 2 2

Norme dans un repère

orthonormé .AH AH a b c AH = ± + + ×n n

Ainsi venons-nous d"établir l"égalité :

2 2 2A A A

2 2 2A A A

On a passé l"égalité à la valeur absolue pour éliminer le et le .Rappelons qu"un réel positif est sa propre valeur absolue.

a.x b.y c.z d .AH a b c AH a.x b.y c.z d a b c AH + + + = + + ×n A A A

2 2 2a.x b.y c.z dAH

a b c+ + +

D"où la formule !

A H N P A H P n?quotesdbs_dbs28.pdfusesText_34