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![[PDF] Produit vectoriel Orientation Soit E un R-espace vectoriel de](https://pdfprof.com/Listes/17/24954-17fetch.phpmediapmi_prepgeom2.pdf.pdf.jpg "[PDF] Produit vectoriel Orientation Soit E un R-espace vectoriel de")
Produit vectoriel.
Orientation.
SoitEunR-espace vectoriel de dimension finie.
On dit que deux bases (ordonn´ees) deEsont de mˆeme sens (ou de mˆeme orientation) si la matrice de passage d"une base `a l"autre est de d´eterminant positif. Cela d´efinit une relation d"´equivalence dans l"ensemble des bases et il y a exactement deux classes d"´equivalence, appel´ees classes d"orientation. L"orientation deEest, par d´efinition, le choix d"une classe d"orientation; les bases ordonn´ees dans cette classe sont des bases directes, les autres sont dites indirectes.
1.SoitEun espace euclidien orient´e de dimension 3. On d´efinit le
produit mixtede 3 vecteursu,v,wdeEcomme d´etB(u,v,w), o`uB= (e1,e2,e3) une base orthonormale directe. Cette d´efinition ne d´epend pas du choix de la base orthonormale directeB. Les propri´et´es du produit mixte sont celles du d´eterminant.
1. Le produit mixte est lin´eaire par rapport `a chaque variableu,vetw.
2. Le produit mixte est alt´ern´e (anti-sym´etrique).
3.Det(u,v,w) = 0 si et seulement si les vecteursu,vetwsont coplanaires.
4. d´et
B(e1,e2,e3) = 1.
2. D´efinition.Soitu,v?E. Leproduit vectorielu?vest l"unique
vecteur deEtel que pour toutw?Eon a< u?v,w >= d´etB(u,v,w).
Propri´et´es du produit vectoriel:
1. Le produit vectoriel est bilin´eaire: (au1+bu2)?v=a(u1?v)+b(u2?v)
etu?(av1+bv2) =a(u?v1+b(u?v2).
2. Le produit vectoriel est anti-sym´etrique:v?u=-u?v.
3.u?vest orthogonal `auetv.
u?v= 0 si et seulement siuetvsont colin´eaires.
On a< u?v,w >=< u,v?w >.
4. SoitB= (e1,e2,e3) une base orthonormale directe. Alorse1?e2=e3,
e
2?e3=e1,e3?e1=e2.
5. SoitTune isom´etrie vectorielle deE. On a
(Tu)?(Tv) =det(T)T(u?v).
6. Siuetvsont orthogonaux, on a?u?v?=?u??v?.
En g´en´eral,
?u?v?=?u??v?sinθ o`uθest l"angle de vecteursuetv 1
7. On a
?u?v?2+< u,v >2=?u?2?v?2
8. Le produit vectoriel n"est pas associatif: le d´efault d"associativit´e est
donn´e par l"identit´e de Jacobi: (u?v)?w-u?(v?w) = (u?w)?v
On a aussi (u?v)?w=< u,w > v-< v,w > u
3. Aires et volumes.
Soitu,v?E. L"aire du parallelogramme construit sur les vecteursuet vest?u?v?. Soitu,v,w?E. Le volume du parallelopip`ede construit sur les vecteurs u,vetwest|d´etB(u,v,w)|=|< u?v,w >|.
4. Angles.
SoitEun espace vectoriel euclidien; soituetvdeux vecteurs non-nuls. L"angleαentreuetvest d´efini par les conditions cosα=< u,v >?u??v? L"angleαde deux doites vectorielles de vecteurs directeursuetvest SoitEun espace affine dirig´e parE. L"angle de deux doites affines dans un espace affine dirig´e parEest par d´efinition l"angle entre entre leurs droites vectorielles directrices.
Cas particulier dimE= 3.
L"angle de deux plans est par d´efinition l"angle de leurs droites normales. L"angle d"une droite et d"un plan est tel que la somme de cet angle et de l"angle entre la droite et la la droite normale au plan estπ/2.
5. Distance `a un hyperplan affine.
SoitEun espace affine euclidien dirig´e parE, soitHun hyperplan dans E. SoitA? Het?nun vecteur unitaire orthogonal `aH.
La distance d"un pointM? E`aHest donn´ee par
d(M,H) =|<--→AM,?n >| (la longueur de la perpendiculaire `aHpassant parM). 2
Si?vest un vecteur non-nul orthogonal `aH, on a
d(M,H) =|<--→AM,?v >|??v?
L"´equation deHest donc<--→AM,?v >= 0.
Expression en coordonn´ees dans un rep`ere orthonorm´e (O;e1,...,en): soit ?v=? iviei, soit (a1,...,an) les cordonn´ees deAet (x1,...,xn) les coor- donn´ees deM.
Alors l"´equationM? Hest?
ivi(xi-ai) = 0, ou? ivixi-p= 0 (ici p=? iviai).
La distance
d(M,H) =? ivixi-p?? iv2i
6. Cas particuliers:
1.Droite dans un plan.
L"´equation de la droiteax+by-p= 0;
vecteur normal?v=ae1+be2; distance du point (x,y) `a la droite est ax+by-p⎷a 2+b2
2.Plan dansR3.
L"´equation du planax+by+cz-p= 0;
vecteur normal?v=ae1+be2+ce3; distance du point (x,y,z) au plan est ax+by+cz-p⎷a
2+b2+c2
3.Plan dansR3d´efini par un pointAet deux vecteurs?u1et?u2.
Le pointMappartient au plan si et seulement si le vecteur--→AMest une combinaison lin´eaire de?u1et?u2. Le vecteur normal est donn´e par ?v=?u1??u2.
4.Plan dansR3passant par trois pointsA,B,C.
Le pointMappartient au plan si et seulement si le vecteur--→AMest une combinaison lin´eaire de--→ABet-→AC. Le vecteur normal est donn´e par ?v=--→AB?-→AC.
5.DroiteDdansR3d´efinie par un pointAet un vecteur?u.
SoitM?R3etBle projet´e orthogonale deMsurD. On a 3 d(M,D) =?--→BM?. d(M,D) =?--→AM??u???u? [ L"´equation (vectorielle) de la droiteDest donc--→AM??u= 0. ]
6.Perpendiculaire commune `a deux droitesD1etD2dansR3; distance
entre deux droites. SoitDid´efinie par un pointAiet un vecteur directeur?ui,i= 1,2. Le point courant de la droiteDis"´ecrit commeMi=Ai+ai?ui,ai?R.
La distance entreM1etM2est?----→M1M2?.
On a----→M1M2=---→A1A2-a1?u1+a2?u2=?v+?u, o`u?u=---→A1A2est fixe et ?u-a1?u1+a2?u2. Si les droites sont parall`eles (les vecteurs?u2et?u2colin´eaires), la situation est claire. Si les vecteurs?u2et?u2ne sont pas colin´eaires,?uest un vecteur arbitraire du plan engendr´e par les vecteurs?u1et?u2. Donc minimiser?----→M1M2?est ´equivalent `a effectuer la projection orthogonale du vecteur?vdans le plan engendr´e par les vecteurs?u1et?u2. La solution est unique et correspond au vecteur----→M1M2orthogonal `a?u1et?u2- c"est la perpendiculaire commune. Soit?w=?u1??u2. Alors pour la perpendiculaire commune on a |<----→M1M2, ?w >|=?----→M1M2???w?. Mais<----→M1M2, ?w >=<---→A1A2, ?w >, d"o`u la formule pour la distance entre deux droites, d(D1D2) =|< ?u1??u2,---→A1A2|>??u1??u2?
7. Coniques.
On consid`ere la courbe Γ dansR2d´efinie par une ´equation quadratique: ax
2+ 2bxy+cy2+dx+ey+f= 0
Par un changement orthogonale des coordonn´ees (en r´edusant la forme quadratique aux axes principaux) on obtient l"´equation λu
2+μv2+pu+qv+r= 0.
Iciλ+μ=a+cetλμ=ac-4b2.
Forme r´eduite.
Cas "non-d´eg´en´er´e".Siλμ?= 0, on peut ´eliminer les termespuetqven ajoutant des constantes `auetvce qui donne l"´equation r´eduite: λu
2+μv2=γ
4
1.λμ=ac-4b2>0. Soitλ >0 (et doncμ >0); ceci est ´equivalent `a
a >0. Alors Γ est une ellipse siγ >0, un point siγ= 0 et vide siγ <0.
2.λμ=ac-4b2<0. Alors Γ est une hyperbole (`a deux branches) si
γ?= 0, une croix form´ee de deux droites siγ= 0. Le centre de Γ dans le cas non-d´eg´en´er´e est le seul point critique de la fonction quadratique qui figure dans l"´equation; en coordonn´ees (x,y) il est donc donn´e comme la solution du syst`eme de deux ´equations 2ax+2by+d=
0, 2bx+ 2cy+e= 0.
Cas "d´eg´en´er´e".Soitλμ= 0. Soitλ?= 0. Alors on peut ´eliminer le termespuen ajoutant une constante `au, ce qui donne l"´equation r´eduite: λu
2+qv=γ. Siq?= 0, c"est l"´equation d"une parabole.
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[PDF] Formule donnant la distance entre un point et un plan dans lespace