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Nous venons de le rappeler : la distance entre le point A et le plan P est la plus petite des distances La dernière phase : un produit scalaire de deux manières

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7 fév 2011 · donc n a b est un vecteur normal à d On calcule AH⋅ n de deux façons différentes (c'est tout l'intérêt du produit scalaire)

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II Produit scalaire, produit vectoriel, produit mixte 2 II E 1 Distance d'un point à un plan déjà démontré ce point dans le chapitre Géométrie dans le plan

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13 nov 2012 · Par conséquent, la distance entre deux points A et B est donnée par la de fait ce produit scalaire dans le plan engendré par les deux 

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le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire à U et V dont la grandeur est donnée posons l ≡ distance d'un point R au plan = projection du  

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Cas particuliers: 1 Droite dans un plan L'équation de la droite ax + by − p = 0; vecteur normal v = ae1 + be2; distance du point (x, y) `a la droite est ax + by − p

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18 mai 2009 · la définition géométrique du produit vectoriel, les premi`eres Proposition 4 9 La distance d'un point M `a un plan P passant par A et de 

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19 nov 2014 · 1 7 Produit scalaire et orthogonalité Un plan vectoriel est un espace vectoriel contenant deux vecteurs non colinéaires, et dans lequel gonale d'un point de D sur D est le point lui-même, et sa distance à D est nulle Le

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Titre de la leçon (n°44 en 1994): Applications du produit scalaire et du produit coordonnées (a,b,c) est orthogonal à P En effet quels que soient les points M(x,y ,z) Application numérique: Calcul de la distance de D au plan ABC, dont on a 

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1

CHAPITRE III

Calcul vectoriel

2

Calcul vectoriel

Représentation des points et vecteurs 3D

(x,y,z) X Z Y

Origine

Coordonnées cartésiennes

(axe vertical) (profondeur)

Système gaucher en infographie

(axe horizontal) 3

Calcul vectoriel

Soient

U = (u 1 , u 2 , u 3 ) et V = (v 1 , v 2 , v 3 ) 2 vecteurs 3D,

P = (p

1 , p 2 , p 3 ) et Q = (q 1 , q 2 , q 3 ) 2 points 3D, l'additi on d'un point avec un vecteur est un point : P + U.

Soit DIST(

U V 2 i=1,2,3 (u i -v i 2 longueur d'un vecteur U U | = Nor m e( U ) = DIST((0,0,0), U i=1,2,3 u i 2 |Q - P | = distance entre les points P et Q,

UNITAIRE(

U ) = vecteur unitaire obtenu de U U U u u = Q - P P Q Arithmétique vectoriellea) l'addition de 2 vecteurs U et V U V = (u 1 + v 1 , u 2 + v 2 , u 3 + v 3 b) la soustracti on de 2 vecteurs U et V U V = (u 1 -v 1 , u 2 -v 2 , u 3 -v 3 c) la multiplication d'un vecteur U par un scalaire r r * U = (r u 1 , r u 2 , r u 3 4

Produit scalaire de 2 vecteurs

le produit scal aire de 2 vecteurs U et V U V U V | * cos ß où e st l'angle entre les droites définies par le prolonge m e nt de U et V Si U et V sont des vecteurs unitaires, U V = cos ß.

Dans un espace orthonor

mé, on a aussi: U V = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Si U et V sont des directions perpendiculaires alors U V = 0. NOTE U V Si V est unitaire alors U V U | cos = projection de U sur V 5

CALCUL VECTORIEL

Liste plus complète des propriétés

du produit scalaire de vecteurs u, v et w v w w v u + w v u v w v (s u v = s ( u v v 2 v v Note < 90 si v w > 0 = 90 si v w = 0 > 90 si v w < 0 v et w sont normaux (orthogonaux ou perpendiculaires) si v w = 0. 6

Produit vectoriel de 2 vecteurs

le produit vectoriel de 2 vecteurs U et V. U x V = (u 2 v 3 -u 3 v 2 , u 3 v 1 -v 3 u 1 , u 1 v 2 -u 2 v 1 le produit vectoriel de U et V est un vecteur perpendiculaire U et V dont la grandeur est donnée par: U x V U V | * sin ß o est l'angle entre les 2 vecteurs U et V

Cette grandeur a pour valeur la su

rface du parallélogra m m e de côtés U et V a x b a b a x b U x V 0 U U V V ou encore U 0 ou encore V 0 7

Produit vectoriel de 2 vecteurs

Liste plus complète des propriétés

du produit vectoriel de 2 vecteurs. i x j k j x k i k x i j i x j k v x w w x v u x ( v + w u x v u x w v + w ) x u v x u w x u (s v ) x w = s (quotesdbs_dbs29.pdfusesText_35