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Géométrie dans l"espace

PTSI B Lycée Eiffel

13 novembre 2012

Rien n"est plus facile à apprendre que la géométrie pour peu qu"on en ait besoin.

SachaGuitry

Dans l"espace, personne ne vous entendra crier.

Tagline du filmAlien, le huitième passager.

Introduction

Nous continuons dans ce chapitre notre étude des techniquesde base en géométrie, mais cette

fois-ci dans l"espace. Rien ne change très profondément parrapport à ce que nous avons vu dans le

plan, il y a simplement une coordonnée de plus ...

Objectifs du chapitre :

maîtrise des calculs géométriques dans l"espace, notamment de produit vectoriel et produit mixte capacité à calculer des équations d"objets simples

1 Repérage dans l"espace

Puisque ça fonctionne exactement de la même façon que dans leplan, nous ne reprendront pas

toute la présentation sur les vecteurs faites dans notre premier chapitre de géométrie. Les opérations

sont de toute façon les mêmes, et la structure d"espace vectorielle est également présente.

1.1 Repérage cartésien

Définition 1.Trois vecteursu,vetwde l"espace sontcoplanairess"il existe un triplet(a,b,c)= (0,0,0)de réels tels queau+bv+cw=0. Remarque1.Si l"un des trois coefficients, par exemplea, est nul, cela signifie que deux des vecteurs

(icivetw) sont colinéaires. Dans le cas général,wpeut s"écrire comme combinaison des vecteursuetv, ce qui signifie bien intuitivement qu"il se situe " dans le plan » défini par les vecteursuetv.

1

Définition 2.Unebasede l"espace est la donnée d"un triplet de vecteurs(i ,j ,k)non coplanaires.

Unrepèredu plan est la donnée d"un quadruplet(O,i ,j ,k), oùOest un point de l"espace et

(i ,j ,k)forment une base de l"espace. Le pointOest alors appeléoriginedu repère, et les droites

passant parOet dirigées par les vecteursu,vetwaxesdu repère, usuellement notés(Ox),(Oy) et(Oz).

Théorème 1.Soit(i ,j ,k)une base. Tout vecteur de l"espace peut s"écrire de façon unique sous

la formeu=xi+yj+zk, oùx,yetzsont trois réels appeléscoordonnéesdu vecteurudans la base(i ,j ,k). Dans l"espace, la troisième coordonnéezest appeléecotedu vecteuru. Définition 3.Soit(O,i ,j ,k)un repère, etMun point de l"espace. Lescoordonnéesdu point Msont les coordonnées du vecteurOMdans la base(i ,j ,k). On notera ces coordonnées sous la formeM(x;y;z).

Remarque2.On peut donc identifier, de façon similaire à ce qu"on a vu dansle plan, l"ensemble des

vecteurs (ou des points) de l"espace à l"ensemble3des triplets de nombres réels.

Définition 4.Une base(i ,j ,k)(et les repères correspondants) estorthogonalesi les vecteursi,jetksont orthogonaux deux à deux. Elle estorthonormalesi de plusi=j=k= 1.

Définition 5.Une base orthogonale(i ,j ,k)de l"espace estdirectesi elle vérifie la régle dite

" du petit bonhomme » : en dessinant sur la base un petit bonhomme dont les pieds sont placés sur

les vecteursietj, et la tête sur le vecteurk, le petit bonhomme doit avoir le pied droit suri et le pied gauche surj. Remarque3.Il faut bien avoir conscience qu"on ne peut pas définir de sensdirect pour les plans

dans l"espace. Par exemple, si on considère une base directe, si on regarder le plan engendré pari

etj" du dessus » (du côté où les cotes sont positives), la base(i ,j)de ce plan parait directe.

Mais vue " du dessous », elle semble indirecte.

Pour toute la suite du chapitre, on fixe une bonne fois pour toutes une base orthonormale de l"espace

(i ,j ,k). Cette hypothèse ne sera pas rappelée dans tous les énoncés,qui pour certains seraient

faux dans une base quelconque. Proposition 1.Soituun vecteur de coordonnées(x,y,z)dans une base orthonormale, alors u= x2+y2+z2. Par conséquent, la distance entre deux pointsAetBest donnée par la formuleAB= (xBxA)2+ (yByA)2+ (zBzA)2.

1.2 Repérage cylindrique

La repérage cylindrique consiste tout simplement à remplacer les deux premières coordonnées

cartésiennesxetypar des coordonnées polaires dans le plan engendré parietj, sans toucher à

la troisième coordonnéez. Définition 6.Un point de l"espaceMadmet pourcoordonnées cylindriquesle triplet(ρ,θ,z) siOM=ρuθ+zk, oùuθ= cos(θ)i+ sin(θ)j.

Remarque4.Les coordonnées cylindriques ne sont pas uniques, tout comme les coordonnées polaires

dans le plan. Attention au fait qu"ici,ρ= x2+y2ne correspond pas à la distance du pointMà

l"origine du repère, mais à la distanceOM, oùMest le projeté orthogonal du pointMsur le plan

(O,i ,j). 2 z O y x M

M'theta

r z

1.3 Repérage sphérique

Ce dernier repérage utilise désormais une seule distance etdeux angles, c"est en fait le repère

qu"on utilise régulièrement pour les points situés sur le gloterrestre (où la distance au centre de

la Terre, constante, n"est pas précisée) quand on donne la latitude et la longitude d"un point. La

convention utilisée ici est légèrement différente.

Définition 7.Un point de l"espaceMadmet pourcoordonnées sphériquesle triplet(r,θ,?)siOM=rsin(?)cos(θ)i+rsin(?)sin(θ)j+rcos(?)k. L"angleθest appelélongitudeet l"angle?

colatitudedu pointM. Le réelrreprésente simplement la distanceOM. z O y x M

M'theta

phirho Remarque5.Vu la définition donnée, on a manifestementx=rsin(?)cos(θ),y=rsin(?)sin(θ)et z=rcos(?). 3

Exemple :Il n"est en général pas aisé de passer des coordonnées cartésiennes aux coordonnées

sphérique,s car il faut avoir deux angles remarquables à reconnaitre pour obtenir une expression

simple. Il est toutefois bon de connaitre la méthode : on commence par factoriser parren laissant

les deux premières coordonnées groupées, on fait apparaitre l"angle?, puis on factorise à nouveau les

deux premières coordonnées pour reconnaitre l"angleθ. Tentons le coup avec le pointM: (1,1, 2), on peut écrireOM=i+j+

2k, avecOM=1 + 1 + 2 = 2. On factorise donc par2, ce

qui permet de reconnaitre sur la dernière coordonnée?=π

4:OM= 212i+12j

2 2k= 2sin 4

12i+12j

+cosπ4 k. On reconnait à nouveau un angle deπ4pourθ, et on peut donc conclure qu"un triplet de coordonnées sphériques deMest

2;π

4;π4

2 Produit scalaire; produit vectoriel; produit mixte

2.1 Produit scalaire

Définition 8.Soientuetvdeux vecteurs non nuls de l"espace, leproduit scalairede ces deux vecteurs, noté u .v, est le réelu .v=u v cos(u ,v). Si l"un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire est nul.

Remarque6.Cette définition est rigoureusement identique à celle vue dans le plan, puisqu"on calcule

de fait ce produit scalaire dans le plan engendré par les deuxvecteurs. Tout ce qu"on a pu voir sur

le produit scalaire dans le plan va donc rester vrai dans l"espace. Proposition 2.Deux vecteurs non nulsuetvsont orthogonaux si et seulement siu .v= 0. Proposition 3.Propriétés du produit scalaire

Le produit scalaire est :

bilinéaire :u .(λv+μw) =λu .v+μu .wet(λu+μv).w=λu .w+μv .w. symétrique :u .v=v .u. défini positif :u .u?0, etu .u= 0u=0. Proposition 4.Siuetvont pour coordonnées respectives(x,y,z)et(x,y,z)dans une base orthonormale, alorsu .v=xx+yy+zz.

Démonstration.On va effectuer une preuve très différente de celle vue dans le plan, en utilisant la

bilinéarité du produit scalaire et le fait que la base dans laquelle on travaille est orthonormale. On peut

écrireu .v= (xi+yj+zk).(xi+yj+zk), ce qui vaut en développant tout par la bilinéarité xx i .i+xyi .j+xzi .k+yxj .i+yyj .j+yzj .k+zxk .i+zyk .j+zzk .k. La base étant orthonormale,i .i=i= 1(et de même pour les deux autres vecteurs), eti .j= 0 (de même pour les autres produits scalaires), il ne reste quexx+yy+zzcomme annoncé.

2.2 Produit vectoriel

Remarque7.Il n"est pas possible de définir un déterminant de deux vecteurs dans l"espace de la

même façon qu"on le fait dans le plan, car cette définition faisait apparaitre un sinus, dont le signe

dépend de l"orientation de l"angle entre les vecteurs. Or, comme on l"a vu, l"orientation des plans

dans l"espace n"est pas possible. L"outil qui remplace en quelque sorte le déterminant est le produit

vectoriel.

Définition 9.Soientuetvdeux vecteurs non colinéaires de l"espace. Leproduit vectorieldeuetvest le vecteurworthogonal àuetv, tel que la base(u ,v ,w)soit une base directe,

et vérifiantw=u v sin(u ,v), où l"angle dont on prend le sinus est l"angle géométrique entre les deux vecteurs (pour ne pas avoir de problème de signe). On notew=uv.

Siuetvsont colinéaires, on poseuv=0.

4 Proposition 5.Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur produit vectoriel est nul. Démonstration.C"est une conséquence évidente de la définition choisie. Proposition 6.Propriétés du produit vectoriel.

Le produit vectoriel est :

bilinéaire :u(λv+μw) =λuv+μuwet(λu+μv)w=λuw+μvw. antisymétrique :uv=vu.

Démonstration.L"antisymétrie est assez facile : si on échange le rôle deuetv, on ne change pas

la norme ni la direction deuv, mais on modifie son sens pour que la base reste directe. La

bilinéarité est un peu technique à démontrer dans l"espace,nous admettrons ce résultat.

Proposition 7.Siuetvont pour coordonnées respectives(x,y,z)et(x,y,z)dans un repère orthonormal direct, alorsuva pour coordonnées(yzzy,zxxz,xyyx).

Démonstration.En admettant la bilinéarité du produit vectoriel, on peut effectuer une démonstration

similaire à celle du produit scalaire. Il suffit de calculer les produits vectoriels des vecteurs de la base :ii=jj=kk=0; pour les autres, les normes seront toujours égales à1, et la direction

sera toujours celle du troisième vecteur de la base (qui est orthogonal aux deux autres), il suffit donc

de faire attention au sens pour que la base soit directe. On obtientij=kmaisji=k etc, ce qui donne bien la formule donnée en développant brutalement.

Remarque8.Les formules des coordonnées sont en fait des formules de déterminant où on " oublie »

dans le deux vecteurs la coordonnée qu"on est en train de calculer pour le produit vectoriel. Attention

tout de même au changement de signe très piégeux pour la deuxième coordonnée! Exemple :On peut toujours calculer des aires de triangle à l"aide du produit vectoriel. Par exemple, prenonsA(1,2,3),B(1,1,1)etC(0,2,4). On calcule par exempleAB(2,1,4) etAC(1,0,1), puisABAC(1,6,1). Il ne reste plus qu"à calculer1

2ABAC=

1 + 36 + 1

2= 19 2.

2.3 Produit mixte

Définition 10.Soientu,vetwtrois vecteurs de l"espace, leurproduit mixte(aussi appelé comme dans le plandéterminant) est le nombre réel(uv).w. On le note[u ,v ,w], ou encore det(u ,v ,w), ou mêmeuvw. Proposition 8.Trois vecteursu,vetwsont coplanaires si et seulement si[u ,v ,w] = 0. Démonstration.En effet, le produit mixte est nul si et seulement siuvest orthogonal àw. cela

se produit (outre les cas particuliers évidents de colinéarité) si et seulement siwest situé dans le

plan engendré paruetv.

Proposition 9.On retrouve ici une interprétation géométrique du produit mixte : il représente (au

signe près) le volume du parallélépipède construit sur les trois vecteursu,vetw. Démonstration.NotonsA,B,CetDquatre points tels queu=AB,v=ACetw=AD. D"après les propriétés du produit scalaire et du produit vectoriel,[u ,v ,w]=uv w cos( uv ,w). La première norme représente l"aire du parallélogramme construit sur les pointsA, BetC, notons-la. Le volume recherché vautAH, oùHest le projeté orthogonal deDsur la droite passant parAet perpendiculaire au plan contenantABetAC(AHreprésente une hauteur

du parallélépipède). Or, cette droite est la même que celle dirigeant le produit vectorieluv, donc

AH=Wcos(uv ,w), ce qui prouve la formule. Dans la figure qui suit, l"angle dont le cosinus apparait dans le formule est indiqué en bleu : 5 A BC D H

Proposition 10.Propriétés du produit mixte

Le produit mixte est :

trilinéaire :[u ,v ,λw+μt] =λ[u ,v ,w]+μ[u ,v ,t];[u ,λv+μw,t] =λ[u ,v ,t]+ μ[u ,w,t]et[λu+μv ,w,t] =λ[u ,w,t] +μ[v ,w,t]. alterné : si deux des trois vecteursu,vetwsont égaux, alors[u ,v ,w] = 0

Démonstration.Prouvons la première formule à l"aide des propriétés déjà établies des produit scalaire

et vectoriel :[u ,v ,λw+μt] = (uv).(λw+t) =λ(uv).w+μ(uv).tpar biliéarité

du produit scalaire, ce qui donne la formule attendue. les deux autres ne sont pas plus compliquées.

Pour le caractère alternée, si ce sontuetvqui sont égaux, leur produit vectoriel est nul, donc

le produit mixte par n"importe quel vecteurwaussi. Siwest égal àuouv, il est orthogonal àuv, donc le produit mixte est également nul.

Remarque9.On peut prouver à partir du caractère alterné que le produit mixte est antisymétrique,

c"est-à-dire qu"il change de signe si on échange deux des vecteurs. En effet, on a par exemple[u+v ,u+v ,w] = 0par alternance, mais également par trilinéarité[u+v ,u+v ,w] = [u ,u ,w]+

[v ,u ,w] + [u ,v ,w] + [v ,v ,w]. les deux termes extrêmes étant nuls, toujours par alternance,

les deux autres sont opposés, ce qui prouve la propriété annoncée. Proposition 11.Siu,vetwont pour coordonnées respectives(x,y,z),(x,y,z)et(x,y,z) dans un repère orthonormal direct, alors[u ,v ,w] =xy y z z yx x z z +zx x y y xy zxzy+yzxyxz+zxyzyx.

Démonstration.C"est une conséquence immédiate des expressions dans une base orthonormale di-

recte du produit scalaire et du produit vectoriel. Méthode :Pour calculer un peu plus rapidement les produits mixtes (etne pas se tromper dans les signes), on peut appliquer la règle de Sarrus. On écrit le diagramme suivant :quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28