[PDF] [PDF] Epsilon

On cherchen0tqjxn`j g("),8nn0(avecg

Variante : on montre quejxn`j

Application : principe du majorant

Principe du majorant

Hypothèses

j xn`j Cyn,8n yn!0,C>0 constante

Conclusion

x n!`Démonstration.

Soit" >0

Soitn0tqjynj=yn< ",8nn0

Alorsjxn`j

On conclut grâce au principeC"

Principe du majorant

Exercice d"application

On a lim

n!11+2sinn2n =0Solution. On a

1+2sinn2n

0=j1+2sinn2jn

31n

On applique le principe du majorant avecyn:=1n

et C=3

Principe du plus grand desn0Principe du plus grand desn0Si la propriété (P1) est vraie pournn1, et si la propriété

(P2) est vraie pournn2, alors les propriétés (P1) et (P2) sont vraies (en même temps) pournn0, où n

0:=maxfn1;n2g

Application : limite de la somme

Proposition

Hypothèses x

n!`2Retyn!L2R

Conclusion x

n+yn!`+LDémonstration.

Soit" >0. Soientn1,n2tq

jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2

Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors

j(xn+yn)(`+L)j=j(xn`) + (ynL)j jxn`j+jynLj< "+"=2"

On conclut grâce au principe 2"

Application : théorème des gendarmes

Théorème des gendarmes

Hypothèses

ynxnzn yn!`2R,zn!`(même`)

Conclusion

x n!`Il existe des variantes de ce résultat si`=1ou`=1 (voir feuille d"exercices no 4)

Application : théorème des gendarmes

Démonstration.

Soit" >0. Soientn1;n2tq

jyn`j< ";8nn1etjzn`j< ";8nn2

Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors

`" D"oùjxn`j< ",8nn0

Application : recollement

Formulation vague

Si une suite(xn)" se casse » en plusieurs sous-suites, toutes avec la même limite`, alorsxn!` L"hypothèse clé est que`ne dépend pas de la sous-suite

Application : recollement

Voici une formulation rigoureuse d"un cas particulier de recollementProposition

Hypothèses

(x'(n))et(x (n))sous-suites de(xn) Tout entiermest soit de la forme'(n), soit de la forme (n). Càd :

8m2N;9n2Ntq soitm='(n);soitm= (n)

x'(n)!`etx (n)!`(même`)

Conclusion

x n!`

Application : recollement

Exemples

Six2n!`etx2n+1!`(même`), alorsxn!`

alorsxn!`Travail individuel : reprendre, dans le poly sur le sup, l"exercice sur la suite(zn)donnée par z n:=112 +13 14 +:::+ (1)n+11n ;8n1; et montrer que(zn)converge

Application : recollement

Preuve si`2R.Soit" >0. Soientn1,n2tq

jx'(n)`j< ";8nn1etjx (n)`j< ";8nn2

Soitn0:=maxf'(n1); (n2)g

Soitmn0. Soitntqm='(n)oum= (n)

Sim='(n), alorsnn1. De même : sim= (n),

alorsnn2 Dans les deux cas :jxm`j< ",8mn0Travail individuel

Examiner les cas où`=1ou`=1

Etudier le cas de plusieurs sous-suites. Notes de cours,

Poroposition 5.16, p. 40

Principe du"particulierPrincipe du"particulierUne propriété vraie pour tout"est vraie pour des valeurs

particulières de"

Application : une suite convergente est

bornéeProposition

Une suite convergente est bornée

Càd : sixn!`2R, alors9a;b2Rtqaxnb,8n

Application : une suite convergente est

bornéeDémonstration. On prend"=1 dans la définition de la convergence.

Soitn0tqjxn`j<1,8nn0

On a donc`1

On obtientaxnb, avec

a:=minf`1;x0;:::;xn01g; b:=maxf`+1;x0;:::;xn01gTravail individuel : sixn!`2R, montrer qu"il existeMtq jxnj M,8n

Application : limite d"un produit

Proposition

Hypothèses

x n!`2Retyn!L2R

Conclusion

x nyn!`L

Application : limite d"un produit

Démonstration.

SoitMtqjxnj M,8n

Soit" >0. Soientn1,n2tq

jxn`j< ";8nn1etjynLj< ";8nn2

Soitn0:=maxfn1;n2g. Sinn0, alors

jxnyn`Lj=jxnynxnL+xnL`Lj jxnynxnLj+jxnL`Lj =jxnjjynLj+jxn`jjLj

M"+jLj"= (M+jLj)"

On conclut grâce au principeC"

Application : continuité avec"Rappel

Sif:A!Retx2A, alorsfest continue enxssi

[(xn)A;xn!x] =)f(xn)!f(x)

Application : continuité avec"Proposition

Hypothèses

f:A!R x2A

Conclusion

fcontinue enxssi8" >0;9 >0 tq [y2A;jyxj< ] =) jf(y)f(x)j< "

Application : continuité avec"Démonstration de "=)».Par l"absurde :9" >0 tq8 >0,9y2Atqjyxj<

etjf(y)f(x)j "

Prenons unparticulier ::=1n

. Soity=yncomme ci-dessus

Alors (1)yn2A,jynxj<1n

, et (2)jf(yn)f(x)j ", 8n

De (1) et du principe du majorant, nous avons (3)

y n!x

Sinn0("), (2) et (3) contredisentf(yn)!f(x)?

Application : continuité avec"Travail individuel Preuve de "(=». Voir notes de cours, Proposition

4.9, pp. 31-32

Caractérisation de la limite limy!xf(y)avec". Notes de cours, Proposition 6.1, p. 43

Quelques suites importantes

Suite arithmétique

x02R,xn:=xn1+a,8n1, aveca2Rconstante

Terme général :xn=x0+na,8n0

Limite :xn!8

:1;sia>0

1;sia<0

x

0;sia=0

Quelques suites importantes

Suite géométrique

x

02R,xn:=q xn1,8n1, avecq2Rconstante

Terme général :xn=x0qn,8n0

Limite six0=1 :xn!8

>>:0;si11;siq=1

1;siq>1

n"existe pas;siq 1

Quelques suites importantes

Calcul de lim

n!1xnPourq0, voir feuille 4 TD Si1Siq=1, alorsx2n!1 etx2n+1! 1. On conclut

Raisonnement analogue siq<1 : nous avons