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valeurs singulières telles que minima et maxima la valeur de f(a), puis f(a+Dx) et on évalue la valeur 4 tester si f(x) < epsilon ( valeur acceptable) 4' si f(x)

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TP3:Calcul dupre mierentiertelq u'unec onditionestvérifiée (Révisionssurlastructureité rativewhile)

Pré-requis:l' objectifdespremièresséancesdeTP estdefa irelepointsurdesfonct ionnalitésim por-

tantesdeScilabquiontétév uesenpremière année.J evousinvi teà consulterleschapitres decours

Onpou rraenparticulierserepo rter au"CH7: Less tru cturesit ératives». !Dansvotredos sierInfo_2a,créez ledos sierTP_3.

I.Int roductionduproblème

Lepro blèmequinousintéresseicies tlesuiva nt.

Problème.

Données:

•Unesuite (u n )etu nesuite(d n )tellequed n n!+" 0. •L'existenced'unréel!telque: #n$N,|u n !!|"d n But:

1)DéterminerunindiceNtelquel etermeu

N vérifie:|u N !!|"10 #4

2)Endédui reunevaleurapproch éede!à10

#4 près.

Remarque

•Lesinéga litésdutype|u n !!|"d n sontfréquentesd anslesexercices.Onpensen otammentà l'utilisationdel'inégalitédesaccroissementsfi nispou rl'étudedessuitesdutypeu n+1 =f(u n

•Lavaleu rde!n'estpasforcém entconnuepr écisément.C'estparexempl elecaslorsque!estfourn i

parlethéo rèmedel abijection:onsaitalo rsdans quelint ervallesesitue!maisonneconna îtpas saval eurexacte. •Comme|u n !!|"d n etd n n!+"

0,o nenconclu t,à l'aideduthéorèmed' encad rement,que

|u n n!+"

0etdo ncque(u

n )estconv ergente,delimite!.Cecid émo ntrequel'élémentNdu point1)existebienetquel' inégalité |u N !!|"10 #4 estvéri fiéeàpartird'uncert ain rang. •L'idéedebasepou rdétermi nerNestdecal culersucces sivementlestermesde (u n )jusqu'àceluiqui vérifie|u n !!|"10 #4 .Cepen dant,onnepeutprocéderdel asort esilav aleurde!n'estpasconnue (calculdeu n !!impossible).Onsesertalorsdelasuit e(d n Ilsu tene etde détermin erunentierNtelqued N "10 #4 .On obtien talors,partransiti vité: |u N !!|"d n "10 #4 cequ ipermetder ésoudreleproblèm e. N estunev aleurappro chéede!. 1

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II.Unexemplec las sique

Oncommen ceparillustrerle problèmeets arésolutionparl'étuded'un esuit edetypeu n+1 =f(u n danslecadrede l'util isationdel' inégali tédesaccroissementsfinis.

Onconsi dèrelafonctionf:x%"e

x 2 2 eton définitl asuite(u n )par: u 0 1 2 #n$N,u n+1 =f(u n

Rappelonslesdi

érentesétapesdecety ped'étude.Lesdém onstr ati onssontlaiss éesaulecteur.

1)Enappl iquantlethéorèmedelabijectionàlafon ctiong:x%"f(x)!x,o ndémont requel'équation

f(x)=xadmetuneuniq uesolutio ndans[0,1],quel'onnote!.

2)Aprèsavoirdémo ntréquel'interv alle[0,1]eststa bleparf,on endédui t,p arrécurrenceque:

#n$N,u n $[0,1].

3)a)Parétuded elafonctionf

0,on endédui tqu e(u

n )estconver gente,delimite!. Lebutes talorsde calculeru nevaleurapproch éede!à10 #4 près. !Quelleconditionp ermetd'assurerque|u n !!|"10 #4 Si 1 e n "10 #4 ,on endédui tpa rtransitivitéqu e|u n 1 e n "10 #4 !Écrireunprogramm epermett antd'a!cherlepremier entierntelque 1 e n "10 #4 1n=0

2while(1/(sqrt(%e)))

n>10 (-4)

3n=n+1

4end

5disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

onpeuta méliorer(m oinsdecalculs)cetteversio nencalculantaufuretàmesu re 1 e n 1n=0

2aux=1

3whileaux>10

(-4)

4aux=aux "1/(sqrt(%e))

5n=n+1

6end

7disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

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!Compléterleprogramme précédenta finqu'ila!cheuneval eurapproch éeà10 #4 prèsde!. 1n=0

2u=1/2

3while(1/(sqrt(%e)))

n>10 (-4)

4n=n+1

5u=exp(-u

2/2) 6end

7disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

8disp("alphapeut êtreapprochépar :"+ string(u))

(onaur aitpu,commepréc édemment, calculer( 1 e n parmult iplicationssuccessives) !Détermineruneformulemath ématiquedo nnantlepremierentierntelque 1 e n "10 #4 1 e n "10 #4 'nln 1 e "!4ln(10) (parstricte croissance delafonction ln) '!nln( e)"!4ln(10) 'n# !4ln(10) !ln( e)

4ln(10)

ln(e 1 2

4ln(10)

1 2 ln(e) =8l n(10)

Ainsi,lepremierentiert elque

1 e n "10 #4 estlepr emierenti ertelque:n#8ln (10).

L'entiercherchéestdonc (8ln (10)).

!Comparerlavaleurobtenu edansl aquestionprécédente etcellea!chéeparle programme. L'instructionceil(8"log(10))fournitbienlerésulta t19quicorrespo ndàlavaleur a chéeparlep rogramme. !Demême,d onnerlaform ulepermettantd'o btenirl epremierentierntelque 1 e n

Paruneétud esimilair e,ontrouve:(!2ln(#)).

!Endédui reunefonctioncalcApprochquiprendenp aramètreunréel epsetqu icalculeune valeur

approchéede!àepsprèsàl'aid ed' unebouclefor.Le résulta tserastockédansunevar iableu.

1functionu=calcApproch(eps)

2u=1/2

3n=ceil(-2"log(eps))

4fori=1:n

5u=exp(-u

2/2) 6end

7endfunction

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III.Lesexemplesaux concours

Ilestfréq uentded evoircoderdesprogr ammesper mettantdecalculeru nentiern/le premieren tier ntelqu'u neconditionestvérifiée.O nretrouvecetyped'exercicesous denom breusesvariantes.

III.1.EDHEC20 16

Dansl'épreuveEDHEC2016,on considér aitunesuite(u n )définieimplicitemen t(u n uniqueélémentde l'intervalle[n,+*[telquef n (u n )=1).Avan tlaquestionScilab,il étaitdem andédedémont rer: #n$N,e un "u n !n"e n !Utiliserla questionpré cédente pourcompléterlescommandesScilabsuivantesafinqu'ellesper- mettentd'a cherunent iernpourlequel u n !nestinférieuroué galà10 #4 1n=0

2while----

3n=----

4end

5disp(n)

1n=0

2whileexp(-sqrt(n))>10

(-4)

3n=n+1

4end

5disp(n)

!Lescri ptci-dessusa!chel'une destroisvaleurs n=55,n=70etn=85.Préciserlaquelleen prenant2,3comme valeurappro chéedeln(10).

Parstricte croissancedelafonctio nln,ona:

e n "10 #4 n"!4ln(10)' n#4ln(10)'n"16(ln(10)) 2

Or:16(ln(10))

2 +16,(2,3) 2 =16,5,29+16,5,3=80 +4,8=84 ,8.

Lescrip tprécédenta

che85.

Remarque

•Àpr emièrevue,ons'écarteunp euducadrea nnoncéen introduction.Cen'est pasleca s.Ilsu !t

pours'enconvai ncredepos erv n =u n !n,!=0etd n =e n

Onretom bealors(commev

n #0)su rl'inégali té:|vquotesdbs_dbs15.pdfusesText_21

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I.Int roductionduproblème

Problème.

Données:

1)DéterminerunindiceNtelquel etermeu

2)Endédui reunevaleurapproch éede!à10

Remarque

0,o nenconclu t,à l'aideduthéorèmed' encad rement,que

0etdo ncque(u

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II.Unexemplec las sique

Onconsi dèrelafonctionf:x%"e

Rappelonslesdi

1)Enappl iquantlethéorèmedelabijectionàlafon ctiong:x%"f(x)!x,o ndémont requel'équation

2)Aprèsavoirdémo ntréquel'interv alle[0,1]eststa bleparf,on endédui t,p arrécurrenceque:

3)a)Parétuded elafonctionf

0,on endédui tqu e(u

2while(1/(sqrt(%e)))

3n=n+1

5disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

2aux=1

3whileaux>10

4aux=aux "1/(sqrt(%e))

5n=n+1

7disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

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2u=1/2

3while(1/(sqrt(%e)))

4n=n+1

5u=exp(-u

7disp("Lavaleurde nest: "+string(n))

8disp("alphapeut êtreapprochépar :"+ string(u))

4ln(10)

4ln(10)

Ainsi,lepremierentiert elque

L'entiercherchéestdonc (8ln (10)).

Paruneétud esimilair e,ontrouve:(!2ln(#)).

1functionu=calcApproch(eps)

2u=1/2

3n=ceil(-2"log(eps))

4fori=1:n

5u=exp(-u

7endfunction

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III.Lesexemplesaux concours

III.1.EDHEC20 16

2while----

3n=----

5disp(n)

2whileexp(-sqrt(n))>10

3n=n+1

5disp(n)

Parstricte croissancedelafonctio nln,ona:

Or:16(ln(10))

Lescrip tprécédenta

Remarque

Onretom bealors(commev