Exposants fractionnaires Pour un nombre réel a positif, on peut définir des exposants fractionnaires de la manière suivante : si p et q sont des entiers positifs,
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Exposants fractionnaires Pour un nombre réel a positif, on peut définir des exposants fractionnaires de la manière suivante : si p et q sont des entiers positifs,
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PUISSANCES D'EXPOSANT FRACTIONNAIRE Une puissance d'exposant fractionnaire est un radical d'indice n et radicand = Deux radicaux sont équivalents
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Vous vous êtes déjà familiarisé avec les nombres rationnels (nombres naturels, nombres entiers, nombres décimaux périodiques et nombres fractionnaires) Dans
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par convention cette notation au cas même où l'exposant de la quantité placée sous le radical n'est pas divisible par l'indice du radical En effet, les règles
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Racines — Exposants fractionnaires 1 1 Radicaux d'indice n Exercice 1 Calculez (sans utiliser la calculatrice) : 1◦ (√3)2 2◦ √32 3◦ √ (−3)2 4◦ √9 ·
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Radicaux d'indice 2 Si a , b ∈ R+ : Propriétés : les propriétés des puissances à exposants entiers s'étendent aux exposants fractionnaires : Exemples : = ∙ 8
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carrées, des racines cubiques pour aboutir à un exposant rationnel Transforme les exposants fractionnaires en radicaux et simplifie si possible : a) 1 3 2 =
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Exposants et radicaux
Exposants entiers et radicaux
Si b est un nombre réel et si n est un entier positif, alors ...nb b b b b b b b b (n facteurs) (à noter que 1bb ); si b est non nul, par convention on pose 01b et on définit les exposants négatifs par 1n nbbPar exemple,
23 3 3 9
32 2 2 2 8
051et 3
311282
La racine nième de b est un nombre
nb tel que nnbbSi n est pair, on doit avoir
0b et par définition 0nb . Ainsi, 93, pas ±3 (plus généralement 2aa 29x
sont 93x
. Si 327 3
Exposants fractionnaires
Pour un nombre réel a positif, on peut définir des exposants fractionnaires de la manière suivante : si p et q sont des entiers positifs, alors /pqqp q pa a a (en particulier1/qqaa
) et /1pq pqaaAinsi,
1/3364 64 4
52/5 253 3 9
et 2/5 2/55 11339On peut alors étendre la définition à des exposants réels par un processus de limite.
Lois des exposants
Soient a et b des nombres réels positifs et x et y des nombres réels quelconques. On a les propriétés suivantes :Lois des exposants
Propriété Exemple Visualisation
axay = ax+y. 8382 = 85. ax/ay = ax-y. 75/72 = 73. (ax)y = axy. (93)2 = 96 (pas 95 !). axbx = (ab)x 2343=83. ax/bx = (a/b)x 73/23 = (7/2)3. Ces lois sont très importantes et il faut non seulement les connaitre mais bien les comprendre.Exemples
Exemple 1 : Calculer a)
2/38 et b) 327125
Réponse : a)
2/32/3 2 23
1 1 1 184828
. b) 3 3 327 27 3
125 5125
Exemple 2 : Simplifier
68481xy
Réponse :
6 8 6/4 8/4 3/2 24481 81 3x y x y x y
Exemple 3 : Rendre le dénominateur de
5 23rationnel.