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Exposants et radicaux

Exposants entiers et radicaux

Si b est un nombre réel et si n est un entier positif, alors ...nb b b b b b b b b (n facteurs) (à noter que 1bb ); si b est non nul, par convention on pose 01b et on définit les exposants négatifs par 1n nbb

Par exemple,

23 3 3 9

32 2 2 2 8

051
et 3

311282

La racine nième de b est un nombre

nb tel que nnbb

Si n est pair, on doit avoir

0b et par définition 0nb . Ainsi, 93
, pas ±3 (plus généralement 2aa 29x
sont 93x
. Si 327 3

Exposants fractionnaires

Pour un nombre réel a positif, on peut définir des exposants fractionnaires de la manière suivante : si p et q sont des entiers positifs, alors /pqqp q pa a a (en particulier

1/qqaa

) et /1pq pqaa

Ainsi,

1/3364 64 4

52/5 253 3 9

et 2/5 2/55 11339
On peut alors étendre la définition à des exposants réels par un processus de limite.

Lois des exposants

Soient a et b des nombres réels positifs et x et y des nombres réels quelconques. On a les propriétés suivantes :

Lois des exposants

Propriété Exemple Visualisation

axay = ax+y. 8382 = 85. ax/ay = ax-y. 75/72 = 73. (ax)y = axy. (93)2 = 96 (pas 95 !). axbx = (ab)x 2343=83. ax/bx = (a/b)x 73/23 = (7/2)3. Ces lois sont très importantes et il faut non seulement les connaitre mais bien les comprendre.

Exemples

Exemple 1 : Calculer a)

2/38 et b) 327
125

Réponse : a)

2/3

2/3 2 23

1 1 1 184828

. b) 3 3 3

27 27 3

125 5125

Exemple 2 : Simplifier

68481xy

Réponse :

6 8 6/4 8/4 3/2 24481 81 3x y x y x y

Exemple 3 : Rendre le dénominateur de

5 23
rationnel.

Réponse :

5 5 3 5 3 15

2 3 62 3 2 3 3

© 2015 B. de Dormale

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