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et DA b) Placer ci – contre les points I , J , K et L symétriques respectifs du point O par rapport aux points E , F , G et H 2) On se place dans le repère ( )

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Trois points O, I et J, non alignés, définissent un repère du plan Les axes du http://mangeard maths free fr/Ecole/JeanXXIII/Seconde/Configurations_plan pdf

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Reperage dans le plan, cours pour la classe de seconde

F.Gaudon

30 ao^ut 2016

Table des matieres

1 Coordonnees dans un repere du plan

2 Milieu d'un segment et distance dans un repere orthonorme

2.1 Milieu d'un segment

2.2 Distance entre deux points

4 1 Reperage dans le plan, cours pour la classe de seconde

1 Coordonnees dans un repere du plan

Denition :On appelle ensemble desnombres entiers naturelset on noteN, l'ensemble des nombres 0, 1, 2, ..., 10, 11,... 123,... . On appelle ensemble desnombres entiers relatifset on noteZ, l'ensemble des nombres ...,-87, .., -3,-2,-1,0,1,2, ...,15,... . On appelle ensemble desnombres reelset onRl'ensemble des abscisses des points d'une droite graduee.Denition : Unreperedu plan est deni par la donnee de trois points non alignesO,IetJ formant un triangle. On note alors (O;I;J) le repere ainsi deni.

Un repere est dit :

orthogonalsiOIJest un triangle rectangle en O; orthonormeouorthonormalsiOIJun triangle rectangle isocele de sommet principal O.Denition et propriete : A tout pointMdu plan, on associe un unique couple (x;y) de nombres reels appele couple de coordonneesdu pointMdans le repere (O;I;J). xest appeleabscissedu pointM; yest appeleordonneedu pointM.http://mathsfg.net.free.fr2 Reperage dans le plan, cours pour la classe de seconde Repere (O;I;J) quelconque. Le point C a pour coordonnees (2;1).

2 Milieu d'un segment et distance dans un repere orthonorme

2.1 Milieu d'un segment

Propriete :SoientAetBdeux points de coordonnees respectives (xA;yA) et (xB;yB) d'un repere (O;I;J). Alors lemilieuKdu segment [AB] a pour abscisse la moyenne des deux abscisses et pour ordonnee la moyenne des ordonnees, c'est a dire, a pour coordonnees : x

K=xA+xB2

et y

K=yA+yB2

Exemples :

SoientA(5;7) etB(3;2). Alors le milieuKde [AB] a pour coordonnees : x

K=xA+xB2

=5+(3)2 = 1 etyK=yA+yB2 =7+22 =92 SoientA(2;1) etK(4;2). Le pointB(x;y) tel queKest le milieu de [AB] verie 4 = 2+x2 et 2 =1+y2 donc 2 +x= 8 et1 +y= 4 d'oux= 6 ety= 4 + 1 c'est a direy= 5.http://mathsfg.net.free.fr3 Reperage dans le plan, cours pour la classe de seconde

Algorithmique :

Algorithme de calcul des coordonnees du milieu du segment [AB] avecAetBde coordonnees respectives (xA;yA) et (xB;yB) :

Entrees:xA,yA,xB,yB

Debut traitementx

Kprend la valeurxA+xB2

Kprend la valeuryA+yB2

Fin

Sorties:xK,yK2.2 Distance entre deux points

Propriete :On considere deux pointsAetBde coordonnees (xA;yA) et (xB;yB) dans un repere (O;I;J) orthonormal. Alors la distanceABest donnee par :

AB=p(xBxA)2+ (yByA)2

ce qui s'ecrit aussi :

AB=p(yByA)2+ (xBxA)2Preuve :

On supposera an d'alleger les ecritures quexA< xBetyA< yB, les autres cas se demontrant de la m^eme

maniere. SoitHle point de coordonnees (xB;yA). Le repere est orthonormal donc les droites (AH) et (BH)

sont perpendiculaires enHet l'unite est la m^eme sur les deux axes. La distanceAHvautxBxAet la distanceBHestyByA. Dans le triangleABHrectangle enH, le theoreme de PYTHAGORE permet

donc d'ecrire queAB2=AH2+BH2c'est a direAB2= (xBxA)2+ (yByA)2d'ou la formule.http://mathsfg.net.free.fr4

Reperage dans le plan, cours pour la classe de seconde

Exemple :

On considere les pointsA(8;2) etB(2;4). Alors la distanceABest :

AB=p(xBxA)2+ (yByA)2

doncAB=p(28)2+ (4(2))2 d'ouAB=p(10)2+ 62 etAB=p136 doncAB= 2p34

Algorithmique :

Algorithme de calcul de la distance entre deux pointsAetBde coordonnees respectives (xA;yA) et (xB;yB) :

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