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ce qui montre que f n'est pas injective (b) L'application f est-elle surjective ? Autrement dit, est-il vrai que tout élément t ∈ R est l'image par f d'un certain couple 

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Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 On suppose que g ◦ f est injective et f surjective, montrer que g est injective Exercice 

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On suppose g ◦ f surjective Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective Démonstration 1 (a) Premi` 

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Montrer que si et sont injectives alors ∘ est injective 2 Montrer que si et sont surjectives alors ∘ est surjective 3 Que 

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f est- elle injective, surjective, bijective? Montrer que la restriction de f à l' intervalle [0,+∞[ induit une bijection dont on déterminera la réciproque b) 

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définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n ◦ 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice 

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g ◦ f surjective ⇒ g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective et que (g ◦ f)-1 = f-1 ◦ g-1 Exercice 6 : Soit f : E → G une application

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La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 12 : Montrer que si f est une bijection croissante (respectivement décroissante) 

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1

Leçon 01- Correction des exercices

Exercice 1

E x F est représenté par un rectangle, chaque côté représentant l'un des deux ensembles.

Parmi les relations représentées ci-dessous lesquelles sont des fonctions de E dans F ? Lesquelles sont des fonctions de F dans E ? Indiquer leur domaine de définition. Parmi ces fonctions, lesquelles sont injectives ? Lesquelles sont surjectives ?

Solution

I , II, IV sont des fonctions de E dans F (un élément de E a au plus un correspondant dans F) III, V et VI ne sont pas des fonctions, (certains éléments de E ont plusieurs correspondants dans F). IV, V et VI sont des fonctions de F dans E (un élément de F a au plus un correspondant dans E) I, II et III ne sont pas des fonctions de F dans E, (certains éléments de F ont plusieurs correspondants dans E). Seules les fonctions de E vers F et de F vers E du dessin IV sont injectives. Les autres fonctions ne sont pas injectives (certains éléments ont plusieurs correspondants) La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 2 : Parmi les relations suivantes, lesquelles définissent des fonctions, des applications, lesquelles sont injectives? Si la relation est une fonction, définir si possible l'ensemble d'arrivée pour que la fonction soit une surjection.

R1 : à un étudiant " e » de l'université X, on fait correspondre l'année " a » dans laquelle il est

inscrit. R1 : e → a. 2

R2 : à un étudiant " e » de l'université X, on fait correspondre ses diplômes " d ».

R2 : e→d.

R3 : à un employé " e » de l'entreprise Y, on associe son supérieur hiérarchique direct.

" s ». R3 : e→s.

R4 : à un employé " e » de l'entreprise Y, on associe le nombre " n » d'enfants de " e ».

R4 : e→n.

Solution

Pour R

1 : Dans certaine université un étudiant peut s'inscrire dans deux années différentes(en

Deug1 d'Anglais et en Deug1 d'Economie par exemple), mais c'est très rare. Supposons donc que dans l'université X ce ne soit pas possible. R

1 est alors une fonction, c'est même une

application puisque si " e » est un étudiant de l'université X, " e » est inscrit dans une année.

Une année contient plus d'un étudiant ! Cette application n'est pas injective. Si l'ensemble d'arrivée est l'ensemble des cursus proposés par l'université X, R

1 est surjective.

Pour R

2 : Un étudiant " e » peut avoir plusieurs diplômes de l'université X, par exemple un

DEUG et une Maîtrise. R

2 n'est donc pas une fonction. A fortiori ce n'est pas une application.

Pour R

3 : Chaque employé à un seul supérieur hiérarchique, mais le patron n'en a pas.

R

3 est donc une fonction mais pas une application. Elle n'est donc pas injective ou surjective.

Pour R

4 : A chaque employé " e », on fait correspondre un et un seul entier " n » égal au

nombre de ses enfants. R

4 est donc une fonction et même une application. Par contre il est très

probable que R

4 ne soit pas injective, puisqu'il y beaucoup de chance qu'au moins deux

employés aient le même nombre d'enfants. Si l'ensemble d'arrivée est constitué de tous les

entiers correspondant aux nombres d'enfants des employés de l'entreprise, R

4 est une

surjection.

Exercice 3 (droite de budget)

Un individu dispose de 1000 F, il peut acheter 2 biens de prix respectif p1 et p2. Soit x la quantité achetée du premier bien et y la quantité achetée du second bien.

1) Quelle relation lie x et y si l'individu consomme tout son budget?

2) y est-il fonction de x? x est-il fonction de y? Si oui de quelles fonctions s'agit-il?

3) Représenter les graphes correspondants (cas particulier, p1=150F, p2=100F):

Solution

1) xp

1 représente le coût de l'achat de x unités de bien 1 et yp2 le coût d'achat de y unités

de bien 2. On a donc xp

1 + yp2 = 1000

2) xp

1 + yp2 = 1000 ? y = -(p1/p2)x + 1000/p2, y est donc fonction de x et le graphe de

cette fonction est une droite.

De même xp

1+yp2 = 1000 ? x=-(p2/p1)x+1000/p1, x est donc fonction de y et le

graphe de cette fonction est une droite. 3) 3

Exercice 4

Soient les fonctions de N dans N définies par les tables suivantes: x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 f(x) 2 4 1 3 5 9 10 6 7 8 16 13 15 14 11 12 18 17 x 1 2 3 5 6 7 8 9 10 12 13 14 15 16 17 18 g(x) 2 1 4 1 11 10 17 0 3 6 1 5 9 11 2 4 1 2 x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 h(x) 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 a) Indiquer leur domaine de définition. b) Parmi ces fonctions lesquelles sont injectives?

c) Pour chacune de ces fonctions indiquer comment doit être défini le domaine d'arrivée pour

que la fonction soit surjective. d) Lesquelles de ces fonctions admettent une fonction réciproque? la définir.

e) Définir fog, gof, foh, hof, hofog et préciser pour chaque fonction son domaine de définition.

Solution

a) f, g et h sont définis sur E = {1 ; 2 ; .... ; 17 ; 18}. b) f est injective car il n'existe pas deux éléments distincts de E ayant la même image g n'est pas injective car f(4)=f(11) h n'est pas injective car f(1)=f(2). c) f(E)=E g(E)={0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 11 ; 17} h(E)={10}. 4 d) f admet une inverse (lire le tableau à l'envers). Les autres ne sont pas injectives. x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 f -1 (x) 3 1 4 2 5 8 9 10 6 7 15 16 12 14 13 11 18 17 e)fog x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 g(x) 2 1 4 1 11 10 17 0 3 6 1 5 9 11 2 4 1 2 f(g(x)) 4 2 3 2 16 8 18 non def 4 8 3 5 6 15 1 2 3 1 gof x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 f(x) 2 4 1 3 5 9 10 6 7 8 16 13 15 14 11 12 18 17 g(f(x) 1 1 2 4 11 3 6 10 17 0 4 9 2 11 1 5 2 1 foh : ?x, f(h(x)) = f(10) = 8 ?x, hof(x) = 10 hofog non définie pour x = 8 égal à 10 ailleurs

Exercice 5

Voici 4 fonctions de R dans R.

a) Indiquer leur domaine de définition. b) Quelles sont celles qui sont injectives? celles qui sont surjectives? celles qui sont bijectives? c) Comment peut-on les rendre bijectives?

4x)x(f2-=

1x1)x(g+=

3x)x(h2+=

Solution

Pour f :

a) f est définie quelque soit x, on a donc D(f) = R

b) On remarque que f(1) = f(-1), f n'est donc pas injective car deux élément distincts (1 et -1)

ont la même image . f n'est pas surjective car les nombres inférieurs à -4 ne sont pas atteints(pour tout x?

R, x2 ≥ 0

et x

2 - 4 ≥ - 4).

f n'étant ni injective, ni surjective f n'est pas bijective. c) Pour que la fonction soit bijective il faut que l'équation f(x) = y ait une et une seule solution quelque soit y.

4yxy4x2+±=?=-. Il faut donc y + 4 > 0 et que x ne prenne qu'une seule valeur, la

positive par exemple. 5

La restriction de f à l'ensemble de départ [-4 ; +∞[ et à l'ensemble d'arrivée R+ est alors une

bijection.

Pour g :

a) g(x) est défini pour tout x≠-1donc D(g) = R\{-1}. b) Etudions les solutions de l'équation

1x1y+= où pour y donné, on cherche x.

yy1x1x1y -=?+=. Pour tout y ≠ 0, on trouve un et un seul x.

g est donc injective (un y n'a qu'un seul antécédent), mais elle n'est pas surjective (0 n'est pas

atteint). g n'est pas bijective car elle n'est pas surjective.

c) La restriction de g à l'ensemble de départ Dg = R\{-1}. et à l'ensemble d'arrivée R\{0}.

Est bien une bijection.

Pour h : (éléments de réponse)

a)D(h) = R b)h n'est ni injective ni surjective ni bijective c)La restriction de h à l'ensemble de départ R+ et à l'ensemble d'arrivée [3 ; +∞[ est une bijection.

Exercice 6

Q désigne une quantité produite, K le capital mobilisé et L le travail utilisé. La fonction de production est définie par 4/12/1LK)L,K(fQ==

1) On considère Q comme fonction de la seule variable K, (L étant considéré comme un

paramètre fixé). Quelle est sa fonction réciproque. (Comment le capital varie-t-il en fonction de la production ?)

2) On considère Q comme fonction de la seule variable L, (K étant considéré comme un

paramètre fixé). Quelle est sa fonction réciproque.(Comment le travail varie-t-il en fonction de la production ?)

Solution

Eléments de réponse

1) Q = K1/2L1/4 = g(K), L est alors un paramètre. On a K1/2 = Q/L1/4 et K = Q2L-1/2. Donc K =

g -1(Q) = Q2L-1/2 .

2) Q = h(L) avec K paramètre. On a donc L = h

-1(Q) = Q4K-2. Exercice 7 : Déterminer les ensembles de définition des fonctions suivantes.

1) x → x

2 + 2 2x

2 - 3x + 1 2) x → 2x2 - 3x + 1 3) x → 2x - 1

x + 1

4) x → 2x - 1

x + 1 5) x → ln 2x

2 - 3x + 1

2 - x 6) x → (2x - 1)m m?Z

6

7) x → xx.

Solution

1) Une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est définie si et seulement si son

dénominateur est non nul. Donc f : x → x 2 + 2 2x

2 - 3x + 1 est définie pour les réels x tels que 2x2 -

3x + 1 ≠ 0. Or 2x

2 - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 1), et D(f) = R \ {1

2 ; 1}.

2) Un radical est défini si et seulement si l'expression qui se trouve sous le radical est définie

et positive ou nulle. Et si f : x →

2x2 - 3x + 1 , f est définie pour les réels x tels que 2x2 - 3x

+ 1 ≥ 0. Or 2x

2 - 3x + 1 = (x - 1)(2x - 1), donc D(f) = ]-∞ ; 1

2 ] ? [1 ; +∞[.

3) Si f : x →

2x - 1

x + 1 , f est définie si et seulement si 2x - 1 x + 1 est définie et positive. Or

2x - 1

x + 1 a le même signe que (2x - 1)(x + 1) et est définie pour x≠-1.

D'où D(f) = ]-∞ ; -1[ ? [1

2

4) Si f : x →

2x - 1

x + 1 , f est définie si et seulement si 2x - 1 ≥ 0 et x + 1 > 0.

D'où D(f) = [

1 2

5) x → ln x est définie sur ]0 ; +∞[, donc si f : x → ln 2x

2 - 3x + 1

2 - x , f est définie pour les réels

x tels que 2x

2 - 3x + 1

2 - x est définie et strictement positive.

Soit x ≠2 et 2x

2 - 3x + 1

2 - x > 0. Pour éviter de se tromper, on peut faire un tableau :

x -∞∞∞∞ +∞∞∞∞

2x2 - 3x + 1 + - + +

2 - x + + + -

2x2 - 3x + 1

2 - x + - + -

D'où D(f) = ]-∞ ; 1

2 [?]1 ; 2[.

6) Si m = 0, pour x ≠ 1

2 (2x - 1)m = 1, et (2x - 1)m n'est pas défini si x = 0.

Donc si f : x → (2x - 1)

m , D(f) = R*.

Si m > 0, f est définie sur R.

Si m < 0, -m > 0 et f(x) = 1

(2x - 1)m et f est définie sur R \ {1 2 }. -1/2 1 2 7

7) Par définition x

x = exp(xlnx). x → expx est définie sur R et x → lnx est définie sur ]0 ; +∞[. Donc si f : x → x x, D(f) = ]0 ; +∞[. Exercice 8 : Soit f la fonction de R dans R définie par f(x) = 2|x - 1| + |2x + 1| - |x|.

1) Calculer f(0), f(- 2

3 ) et f(4 3 ). f est-elle injective ?

2) Exprimer f(x) sans les valeurs absolues suivant les valeurs de x (on rappelle que

d'un tableau.

3) Faire une représentation graphique de f.

4) Déterminer Im(f). Trouver le ou les antécédents de 5. f est-elle surjective ?

5) Déterminer A et B tels que f soit une bijection de A dans B. Déterminer alors f-1.

Solution

1) f(0) = 2|-1| + |1| - |0| = 3

f(- 2 3 ) = 2 |- 5 3 | + |- 1 3 | - |- 2 3 | = 3 f( 4 3 ) = 2 | 1 3 | + | 11

3 | - | 4

3 | = 3. 0, - 2 3 et 4 3 ont même image par f, f n'est donc pas injective. |2x + 1| = 2x + 1 si x ≥ - 1 2 |x| = x si x -∞∞∞∞ |x - 1| -x + 1 -x + 1 -x + 1 x - 1 |2x + 1| -2x - 1 2x + 1 2x + 1 2x + 1 |x| -x -x x x

2|x - 1| + |2x + 1| - |x| -3x + 1 x + 3 -x + 3 3x - 1

Sur ]-∞ ; -

1

2 ], f(x) = -3x + 1,

Sur [- 1

2 ; 0], f(x) = x + 3;

Sur [0 ; 1], f(x) = -x + 3,

Sur [1 ; +∞[, f(x) = 3x - 1.

3) -1/2 1 0 8

4) En utilisant la représentation graphique de f, on constate que Im(f) = [2 ; +∞[ (rougr sur le

dessin) . D'autre part on remarque que 5 a deux antécédents x

1?]-∞ ; - 1

2 ] et x2?[1 ; +∞[.

Donc x

1 vérifie -3x1 + 1 = 5, et x1 = -2. De même x2 vérifie 3x2 - 1 = 5, soit x2 = 2.

Les deux antécédents de 5 sont donc -2 et 2. Toujours en utilisant la représentation graphique de f, on remarque que tout réel y de

]-∞ ; 2[ n'a pas d'antécédent (parallèle à (Ox) en bleu sur le dessin). f n'est donc pas

surjective sur R.

5) En observant C(f), on peut affirmer que f est une bijection de

A = ]-∞ ; - 1

2 ] dans

B = [5

2 ; +∞[ par exemple.

Si on choisit

A = ]-∞ ; - 1

2 ] et B = [5

2 ; +∞[, f(x) = -3x + 1. Or si y = -3x + 1, x = - 1 3 y + 1 3 , d'où f-1(y) = - 1 3 y + 1 3 ou f-1(x) = - 1 3 x + 1 3

Si on choisit

A = [1 ; +∞[ et B = [2 ; +∞[, f(x) = 3x - 1, f-1(x) = 1 3 x + 1 3

Si on choisit

A = [0 ; 1] et B = [2 ; 3], f(x) = -x + 3 et f-1(x) = -x + 3 ...etc

Exercice 9 : Soit E(x) la partie entière de x, c'est à dire l'entier immédiatement inférieur ou

égal à x.

1) Faire la représentation graphique des fonctions f et g définies par

f(x) = x - E(x) et g(x) = 2x - E(x-1) 9

2) Ces fonctions sont-elles injectives ? surjectives ?

3) Si non, pour chacune des fonctions, déterminer A et B telle que la fonction soit une

bijection de A sur B.

Solution

1) Si x?[n ; n+1[ avec n?

Z, f(x) = x - n, et sur [n ; n+1[ C(f) est un segment fermé à gauchequotesdbs_dbs16.pdfusesText_22