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ce qui montre que f n'est pas injective (b) L'application f est-elle surjective ? Autrement dit, est-il vrai que tout élément t ∈ R est l'image par f d'un certain couple 

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Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 On suppose que g ◦ f est injective et f surjective, montrer que g est injective Exercice 

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On suppose g ◦ f surjective Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective Démonstration 1 (a) Premi` 

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Montrer que si et sont injectives alors ∘ est injective 2 Montrer que si et sont surjectives alors ∘ est surjective 3 Que 

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f est- elle injective, surjective, bijective? Montrer que la restriction de f à l' intervalle [0,+∞[ induit une bijection dont on déterminera la réciproque b) 

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définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n ◦ 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice 

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g ◦ f surjective ⇒ g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective et que (g ◦ f)-1 = f-1 ◦ g-1 Exercice 6 : Soit f : E → G une application

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La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 12 : Montrer que si f est une bijection croissante (respectivement décroissante) 

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Universit´e de Rennes 1Licence 1`ere ann´ee

UFR Math´ematiquesmodule A04

Feuille de TD n

◦5Ann´ee????-???? Compr ehension de la notion d"applications

Exercice n◦1

D´eterminer toutes les applicationshdeE={0,1,2,3,4}dans lui-mˆeme telles que pour tout xet toutydeE, on aith(x+y) =h(x) +h(y).

Exercice n◦2

On noteEl"ensemble des applications deRdansR. SoitA={f?E;f(3) = 2f(1)}.

1)L"applicationg:x?→x2appartient-elle `aA? Mˆeme question pourh:x?→x+ 1.

2)A quelle condition suraetb, l"applicationf:x?→ax+bappartient-elle `aA?

Exercice n◦3

On noteEl"ensemble des applications deRdansRv´erifiant la propri´et´e : ?x?R, f(2x) =f(x).

1)Les applications d´efinies ci-dessous appartiennent-elles `aA?

a)fest une application constante b)f:x?→3x-1 c)f:?0?→0 x?→1 six?= 0 d)f:?1?→0 x?→1 six?= 1

2)On suppose quefappartient `aA.

a)D´emontrer que :?t?R,f(4t) =f(t). b)D´emontrer que :?x?R,?n?N,f?x 2n? =f(x).

Composition d"applications

Exercice n◦4

Soit l"application d´efinie surRparf(x) =x-4 etgl"application d´efinie sur [1,+∞[ par g(x) =⎷ x-1. D´eterminerf◦getg◦f.

Exercice n◦5

On d´efinit deux fonctionsfetgsur [0,1] `a valeurs dans [0,1] par f(x) =?1/2-xsix?[0,1/2[

0 sinong(x) =?0 six?[0,1/2[

x-1/2 sinon D´eterminerf◦getg◦f. Ces applications sont-elles ´egales?

Exercice n◦6

On d´efinit deux applicationsfetgde [0,1] dansRpar f(x) =?3xsix?[0,1/3]

1 sinong(x) =?0 six?[0,2/3]

3x-2 sinon

D´eterminerf◦getg◦f. Ces applications sont-elles ´egales? Trouver un sous-ensemble de

[0,1] sur lequelf◦getg◦font les mˆemes restrictions.

Injection - Surjection - Bijection

Exercice n◦7

Donner des fonctions r´eciproques des fonctions suivantes, en pr´ecisant le domaine de d´efinition

1)f1(x) =⎷

x-1

3-2xsix >1

Exercice n◦8

Soitfl"application deRdans ]-1,1[ d´efinie parf(x) =x/(1+|x|).Montrer quefest bien d´efinie, qu"elle est bijective et d´eterminer sa fonction r´eciproquef-1.

Exercice n◦9

Soit l"applicationf:??R\ {1} →R

x?→2x+ 5 x-1·

1)L"applicationfest-elle surjective? Est-elle injective?

2)Montrer qu"il existe un sous-ensembleFdeRet une bijectiongdeR\ {1}surFtels

queg(x) =f(x) pour toutxdeR\ {1}. D´eterminerg-1.

Exercice n◦10

Soientfune application deEdansF,gune application deFdansGeth=g◦f.

1)Montrer que sihest injective,fl"est aussi et que sihest surjective,gl"est aussi.

2)Montrer que sihest surjective etginjective, alorsfest surjective.

3)Montrer que sihest injective etfsurjective alorsgest injective.

Exercice n◦11

Soient un ensembleEetfune application deEdansE.

On d´efinit par r´ecurrence surn fnparf1=fetfn=f◦fn-1.

1)On supposefinjective. Montrer que, pour tout entiernstrictement positif,fnest

injective.

2)On supposefsurjective. Montrer que, pour tout entiernstrictement positif,fnest

surjective.

Ant´ec´edents et image

Exercice n◦12

Soitfl"application deRdansRd´efinie parf(x) =x2+x-2.

1)Donner la d´efinition def-1({4}).Calculerf-1({4}).

2)L"applicationfest-elle bijective ?

3)Donner la d´efinition def([-1,1]).Calculerf([-1,1]).

4)Donner la d´efinition def-1([-2,4]).Calculerf-1([-2,4]).

Exercice n◦13

Soit l"applicationE:?R→R

1)Tracer le graphe deEpourx?[-2,2].

2)L"applicationEest-elle injective ? surjective? bijective ?

4)ExpliciterE◦E.

Exercice n◦14

Soit l"applicationf:?R→R

x?→e2x-2ex.

1)D´eterminerf-1({-3/4}).

2)L"applicationfest-elle injective ?

3)L"applicationfest-elle surjective?

4)D´eterminerf([-ln2,ln2]).

Exercice n◦15

Soit l"applicationf:??C→C

z?-→z

1 +|z|o|z|d´esigne le module du complexez.

1)D´emontrer que, sif(z) =f(z?),alors|z|=|z?|.En d´eduire quefest injective.

2)On noteD={z?C;|z|<1}.Montrer quef(C)?D.

3)L"applicationfest-elle une bijection deCsurD?

Exercice n◦16

Soit l"applicationf:??C\ {i} →C

z?→z+i z-i·

1)D´eterminer l"image parfdu disqueD={z?C;|z|<1}.

2)D´eterminer l"image parfdu demi-planA={z?C; Re(z)<1/2}.

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