[PDF] [PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 - Licence de

[PDF] Corrigé du TD no 6

ce qui montre que f n'est pas injective (b) L'application f est-elle surjective ? Autrement dit, est-il vrai que tout élément t ∈ R est l'image par f d'un certain couple 

[PDF] Fonctions et applications - Institut de Mathématiques de Toulouse

Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 On suppose que g ◦ f est injective et f surjective, montrer que g est injective Exercice 

[PDF] Injectivité et surjectivité pour des applications quelconques:

On suppose g ◦ f surjective Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective Démonstration 1 (a) Premi` 

[PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 - Licence de

Montrer que si et sont injectives alors ∘ est injective 2 Montrer que si et sont surjectives alors ∘ est surjective 3 Que 

[PDF] MÉTHODES ET EXERCICES - Dunod

f est- elle injective, surjective, bijective? Montrer que la restriction de f à l' intervalle [0,+∞[ induit une bijection dont on déterminera la réciproque b) 

[PDF] PDF :5 - Université de Rennes 1

définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n ◦ 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice 

[PDF] Fiche dexercices n 4

g ◦ f surjective ⇒ g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective et que (g ◦ f)-1 = f-1 ◦ g-1 Exercice 6 : Soit f : E → G une application

[PDF] Leçon 01- Correction des exercices

La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 12 : Montrer que si f est une bijection croissante (respectivement décroissante) 

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Pascal Lainé

1

Ensembles-Applications

Exercice 1 :

Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Donner des ensembles ܫ et ܬ

2. Donner des ensembles ܫ et ܬ

3. Donner des ensembles ܫ et ܬ

4. Donner des ensembles ܫ et ܬ

Allez à : Correction exercice 1 :

Exercice 2 :

Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :

Allez à : Correction exercice 2 :

Exercice 3 :

Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ

1. Montrer que ݂ est injective.

2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ

Allez à : Correction exercice 3 :

Exercice 4 :

1. ݂ est-elle injective ?

2. ݂ est-elle surjective ?

3. ݃ est-elle injective ?

4. ݃ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 4 :

Exercice 5 :

Soient

Où ܧ

Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃ל

Allez à : Correction exercice 5 :

Exercice 6 :

Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ

Montrer que ݂ est surjective.

Pascal Lainé

2

Allez à : Correction exercice 6 :

Exercice 7 :

݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א

1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 7 :

Exercice 8 :

1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ

2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 8 :

Exercice 9 :

Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijective

Allez à : Correction exercice 9 :

Exercice 10 :

Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un

calcul ou un contre-exemple.

1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל

aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

euclidienne de ݈ par ݊ est une application.

(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni

injective

Justifier.

4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ

Allez à : Correction exercice 10 :

Exercice 11 :

Montrer que :

Pascal Lainé

3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?

Allez à : Correction exercice 11 :

Exercice 12 :

Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ

2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ௠՜ܫ

injective, surjective, bijective ?

Allez à : Correction exercice 12 :

Exercice 13 :

Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ

1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל

2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל

3. Que peut-on conclure sur ݃ל

4. Montrer que si ݃ל

5. Montrer que si ݃ל

6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ

suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ

Allez à : Correction exercice 13 :

Exercice 14 :

1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.

2. Montrer que toute section de ݂ est injective.

Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ

3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.

4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.

5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.

Allez à : Correction exercice 14 :

Exercice 15 :

Allez à : Correction exercice 15 :

Exercice 16 :

Pascal Lainé

4

Allez à : Correction exercice 16 :

Exercice 17 :

Soit ݂ǣܦ

1. Représenter ܦ

b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..

3. Est-ce que ݂ est surjective ?

Allez à : Correction exercice 17 :

CORRECTIONS

Correction exercice 1 :

Allez à : Exercice 1 :

Correction exercice 2 :

Une fonction est bijective si et

bijective.

݂ est bijective.

Pascal Lainé

5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨ

Pour tout ݕאԹ il existe ݔא

Pour tout ݕא

autres ݕ

Le " ݔସ ݔ ».

Pour tout ݕ൐െଷ

య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.

Pascal Lainé

6

Allez à : Exercice 2 :

Correction exercice 3 :

1.

Donc ݂ est injective.

Allez à : Exercice 3 :

Correction exercice 4 :

1.

Donc ݂

Donc pour tout ݌א

݂ est surjective.

3.

Donc ݃ est injective.

Alors

Ce qui équivaut à

Allez à : Exercice 4 :

Correction exercice 5 :

݂ est injective.

ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂

injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :

݃ est surjective.

Si ݊ est pair, il existe ݌א

Si ݊ est impaire, il existe ݌א

Pascal Lainé

7

Que ݊ soit paire ou impaire

Remarque :

Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧ

Allez à : Exercice 5 :

Correction exercice 6 :

Allez à : Exercice 6 :

Correction exercice 7 :

݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ

Allez à : Exercice 7 :

Correction exercice 8 :

݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout ݌א

Allez à : Exercice 8 :

Correction exercice 9 :

On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.

Soit ݂௜ܨא ݁௝ܧא

݁௝భ്݁௝మ donc ݂

Pascal Lainé

8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂௝ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.

Allez à : Exercice 9 :

Correction exercice 10 :

Cela montre que ݑלݒל

Car ݑ est injective

Car ݒ est injective

Car ݑ est injective

Finalement ݑלݒל

2. ͹ ݂

oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾ

ܾᇱ et ܿൌܿ

Donc ݂ est injective et pas surjective.

Donc ߮

Donc ߮

Premier cas ܽ

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