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ce qui montre que f n'est pas injective (b) L'application f est-elle surjective ? Autrement dit, est-il vrai que tout élément t ∈ R est l'image par f d'un certain couple 

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Si c'est le cas, dire si la fonction est injective, surjective ou bijective 1 1 On suppose que g ◦ f est injective et f surjective, montrer que g est injective Exercice 

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On suppose g ◦ f surjective Montrer que g est surjective et que f l'est aussi si g est injective Démonstration 1 (a) Premi` 

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Montrer que si et sont injectives alors ∘ est injective 2 Montrer que si et sont surjectives alors ∘ est surjective 3 Que 

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f est- elle injective, surjective, bijective? Montrer que la restriction de f à l' intervalle [0,+∞[ induit une bijection dont on déterminera la réciproque b) 

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définie, qu'elle est bijective et déterminer sa fonction réciproque f−1 Exercice n ◦ 3) Montrer que si h est injective et f surjective alors g est injective Exercice 

[PDF] Fiche dexercices n 4

g ◦ f surjective ⇒ g surjective Montrer que si f et g sont bijectives alors g ◦ f est bijective et que (g ◦ f)-1 = f-1 ◦ g-1 Exercice 6 : Soit f : E → G une application

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La seule fonction surjective est la fonction du dessin IV de F dans E Exercice 12 : Montrer que si f est une bijection croissante (respectivement décroissante) 

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2015-2016M. DuprezFiche d'exercices n

4 Exercice 1 :On considere l'applicationf:R!Rdenie par f(x) =x4:

Determinerf(A) lorsqueAvaut [2;1],f0;1getf1;1g.

Determinerf1(B) lorsqueBvaut [0;2], [1;4], [2;1], [1;4] etf3g.

La fonctionfest-elle injective? surjective?

Exercice 2 :Soitf:R!Rl'application denie par :

f(x) =2x2+ 1: Determiner les ensembles imagesf(R),f([2;3]) etf([1;1]) ainsi que les preimages f

1(f0g),f1(f1g) etf1(R).

Exercice 3 :Les applications suivantes sont-elles injectives? Surjectives? Bijectives? Donner l'application reciproque dans les cas ou l'application est bijective. (a)Z!Z; n7!2n; (b)Z!Z; n7! n (c)N!N; n7!n+ 1 ; (d)Z!Z; n7!n+ 1 (e)R!R; x7!x2; (f)R!R+; x7!x2 Exercice 4 :Les applications suivantes sont-elles injectives? Surjectives? Bijectives? (a)R!R; x7!2xx 2+ 1; (b)R!R; x7!4x3+x. Exercice 5 :Soientf:E!Getg:G!Gdeux applications, montrer que : gfinjective)finjective; gfsurjective)gsurjective. Montrer que sifetgsont bijectives alorsgfest bijective et que (gf)1=f1g1. Exercice 6 :Soitf:E!Gune application. Montrer que : fest injective si et seulement si pour toutAE;f1(f(A)) =A. fest surjective si et seulement si pour toutBF;f(f1(B)) =B. 1

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2015-2016M. DuprezExercice 7 :Soitf:Rn f1g 7!Rn f2gl'application denie par :

f(x) =2x+ 5x1 Montrer quefest bijective et determiner sa reciproquef1.

Exercice 8 :Soitf:N!Zl'application denie par :

f(n) =8 :n2 sinest pair, n+ 12 sinest impair. Montrer quefest bijective et determiner sa reciproque. Exercice 9 :SoitEun ensemble etf:E! P(E) une application deEdans l'ensemble de ses parties. On considere

A=fx2E;x62f(x)g:

MontrerA62Im(f);

En deduire quefn'est pas surjective.

Exercice 10 :On dit qu'un ensembleAest ni s'il existe un entier naturelnet une bijection de l'ensemblef1;2;;ngdansA. L'entiernest unique et est appele le cardinal deA, note card(A). SoientAetBdeux ensembles nis, montrer que l'on a card(A) = card(B) si et seulement si il existe une bijection deAdansB. SoientAetBdeux ensembles nis, montrer que les propositions suivantes sontequivalentes : card(A)card(B);

Il existe une application injective deAdansB.

Il existe une application surjective deBdansA.

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