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Yves JANNOT Octobre 2005

Méthodes d'estimation de paramètres

TABLE DES MATIERES

1 LA NOTION D'ERREUR ET DE BRUIT DE MESURE 1

2 METHODES D'ESTIMATION 3

2.1 Paramètres liés par une relation linéaire 4

2.1.1 Méthode des moindres carrés linéaires 4

2.1.2 Méthode de Gauss-Markov 6

2.2 Paramètres liés par une relation non-linéaire 8

2.2.1 Méthode du gradient 9

2.2.2 Méthode de Newton 9

2.2.3 Méthode de Marquart 10

2.2.4 Méthode dichotomique 10

2.2.5 Evaluation de la précision de l'estimation 11

3 EXEMPLES D'ESTIMATION DE PARAMETRES 13

3.1 Estimation d'un seul paramètre 13

3.2 Estimation des coefficients d'une droite 15

3.2.1 Equation Y = k

1 t 15

3.2.2 Equation Y = k

0 +k 1 t 15

3.3 Estimation de paramètres liés par une relation non linéaire 21

3.3.1 Incertitudes de mesures constantes : exemple du " Plan chaud » 21

3.3.2 Incertitudes de mesure variables : courbe de séchage 25

3.3.3 Estimation de 4 paramètres faiblement décorrélés : Méthode flash " long » 30

Bibliographie 32

ANNEXES 33

Rappel sur la covariance 33

Exemple 4 : Programme Matlab 34

Exemple 5 : Programme Matlab 35

Exemple 6 : Programme Matlab 36

Exemple 7, Modèle 1 : Programmes Matlab 39

Exemple 7, Modèle 2 : Feuille de calcul Excel 42

Exemple 7, Modèle 3 : Programme Matlab 43

Exemple 8 : Programmes Matlab 46

Méthodes d'estimation de paramètres

1

1 LA NOTION D'ERREUR ET DE BRUIT DE MESURE

On adoptera les notations et définitions suivantes pour une grandeur physique Y : - Y Valeur exacte de la grandeur i

Yˆ Résultat de la i

ème

mesure de Y - e Yi

Erreur commise lors de la i

ème

mesure : e Yi = Y - i Yˆ - Y Moyenne de N valeurs mesurées i Yˆ Yi Ecart-type des erreurs de mesures autour de cette moyenne - dY i Incertitude de mesure sur Y : valeur maximale possible de Ň i

Yˆ-YŇ

Par définition, l'erreur commise lors de la i

ème

mesure d'une grandeur physique dont la valeur réelle est Y vaut : e Yi = Y - i Yˆ . Cette erreur peut avoir plusieurs causes : - Erreur dûe à l'opérateur : mauvaise lecture par exemple.

- Erreur systématique : décalage du zéro de l'appareil, mauvais étalonnage, dérive de l'électronique...

- Bruit de mesure : erreur de mesure aléatoire autour d'une valeur moyenne.

Si une grandeur est estimée à partir de la mesure d'une autre grandeur, l'erreur d'estimation peut inclure une

" erreur de modèle » (modèle incomplet ne prenant pas en compte certains phénomènes) en plus des erreurs

précédemment citées.

Nous nous placerons dans ce qui suit dans le cas où la seule source d'erreur est le bruit de mesure. Ce bruit est

dit centré s'il est de moyenne nulle. Il est gaussien si sa loi de distribution de valeur est une loi normale

(gaussienne). Supposons que l'on enregistre les valeurs mesurées i Yˆ d'une grandeur Y que l'on cherche à estimer, on obtient un graphe du type suivant : Figure 1 : Enregistrement type d'une mesure au cours du temps

Les valeurs mesurées

i Yˆ sont réparties de manière aléatoire autour d'une valeur moyenne Y et nous pouvons

écrire :

Où :

e Yi

Erreur de mesure = variable aléatoire à moyenne nulle (on fait l'hypothèse que la mesure est sans biais)

Y Valeur exacte que l'on cherche à estimer

L'ensemble des N valeurs mesurées

i Yˆ peut être caractérisé par deux grandeurs : - la moyenne Y que l'on considérera comme le résultat final de la mesure de Y.

- une deuxième grandeur caractérisant la variabilité des mesures autour de la valeur moyenne.

Deux grandeurs peuvent être utilisées pour caractériser la variabilité des mesures d'une grandeur Y autour de la

valeur moyenne observée Y : i

Yˆ= Y + e

Yi (1) Y i Yˆ e Yi

Méthodes d'estimation de paramètres

2- L'incertitude (absolue) dY

i : elle est telle que 100% des valeurs mesurées i

Yˆ appartiennent à l'intervalle

i

Yˆ-dY

i i

Yˆ+dY

i ]. Cette grandeur est bien adaptée à des mesures réalisées avec des instruments peu

sensibles à leur environnement : mètre, pied à coulisse, balance,... Par contre,elle peut s'avérer inadaptée

pour certaines mesures telles que la mesure de très faibles tensions par un oscilloscope. On trouvera sur la

figure 2 une représentation schématique d'une telle mesure. On remarque que sur un très grand nombre de

mesures, seules quelques unes s'éloignent de manière importante de la moyenne correspondant par

exemple à une perturbation électrique ponctuelle au moment de ces mesures. L'utilisation de l'incertitude

absolue dY i

pour caractériser la variabilité des mesures présentées sur la figure 2 conduirait à penser que

ces mesures présentent une très grande variabilité ce qui n'est pas le cas.

Figure 2 : Représentation schématique des résultats de mesure d'une très faible tension par un oscilloscope

- L'écart-type Yi autour de la moyenne défini par : 21N
1i2 iYi

YYˆ

N1 . Cette grandeur caractérise

la façon dont les valeurs sont dispersées autour d'une valeur moyenne et peut être mieux adaptée dans

certains cas/

Selon le cas de figure, on utilisera l'une ou l'autre des deux notions pour caractériser la précision de la mesure.

Dans ce qui suit, on utilisera la notation dY

i qu'il suffira de remplacer par i

Y lorsque l'on considérera plutôt

un écart-type. Relation entre incertitude (absolue) et écart-type

On peut relier simplement écart-type et incertitude dans le cas où le bruit de mesure suit une loi dite normale ou

de Laplace-Gauss, c'est-à-dire de densité de probabilité : 2 mii eYeY

21exp21)eY(P

. On

trouvera sur la figure 3 une représentation de la densité de probabilité de la loi normale centrée (moyenne nulle)

réduite (écart-type égal à 1). Dans le cas d'une erreur de mesure centrée (à moyenne nulle), la probabilité P[eY 1 ,eY 2 ] pour que l'erreur de mesure eY i [eY 1 ,eY 2 ] se calcule par : dxx

21exp21eY,eYP

2 1 eY eY2 21
Dans le cas d'une erreur de mesure centrée d'écart-type , on peut calculer que : - 68% des erreurs de mesure sont comprises entre -Y et +Y - 95% des erreurs de mesure sont comprises entre -2Y et +2Y - 99,7% des erreurs de mesure sont comprises entre -3Y et +3Y

On retiendra donc que si l'erreur de mesure eY sur une grandeur Y suit une loi normale centrée alors l'écart-

type Y est égal à un tiers de l'incertitude (absolue) dY. 2 e Yi 2 dY i

Méthodes d'estimation de paramètres

3

00.050.10.150.20.250.3

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Figure 3 : Densité de probabilité d'une loi normale centrée réduite

Relation entre incertitude et nombre de mesures

On montre par ailleurs que l'incertitude dY sur l'estimation

Y varie comme l'inverse de la racine carrée du

nombre N de mesures ayant servi à calculer Y:

On retiendra qu'en multipliant le nombre de mesures d'une même grandeur par 100 on multiplie la précision

de son estimation par 10.

2 METHODES D'ESTIMATION

On réalise, à des instants t

i , N mesures i Yˆ d'une grandeur Y dépendant de n paramètres k 0 , k 1 , ..., k n et

éventuellement du temps t. On suppose que l'on connaît le modèle physique exact permettant de relier la valeur

de Y à celles des paramètres k 0 , k 1 , ..., k n sous la forme Y= f(k 0 , k 1 , ...k n , t).

Exemples :

- Forme linéaire : Y(t) = f (k 0 , k 1 , t) = k 0 + k 1 t - Forme exponentielle : Y(t) = f (k 0 , k 1 , t) = k 0 exp(k 1 t)

Le problème posé est double :

- Trouver les valeurs de k 0 , k 1 , ...k n , telles que la courbe Y= f(k 0 , k 1 , ...k n , t) représente au mieux les N couples de points expérimentaux [ i

Yˆ,t

i - Estimer la précision avec laquelle les valeurs k 0 , k 1 , ...k n sont estimées.

Un des problèmes annexes qui se pose est de choisir un critère dont la minimisation permettra d'affirmer que

les valeurs estimées k 0 , k 1 , ...k n sont celles qui représentent au mieux les points expérimentaux par la courbe théorique.

L'idée la plus simple serait de choisir comme critère la somme S des distances des points à la courbe théorique

mais les écarts négatifs peuvent compenser des écarts positifs et rendre ce critère inadapté ainsi que représenté

sur la figure 4. NdY Yd i (2) 68%
95%
99,7%

Méthodes d'estimation de paramètres

4 Figure 4 : Schématisation de la somme des écarts

Le critère le plus souvent retenu est la somme D des écarts quadratiques, soit la somme des carrés des

distances des points expérimentaux à la courbe théorique tel que représenté sur la figure 5.

Figure 5 : Schématisation de la somme D des écarts quadratiques

Plusieurs méthodes d'estimation vont être décrites, les deux premières : Moindres carrés linéaires et Gauss-

Markov ne s'appliquent que si les fonctions

i kf sont indépendantes des k i . C'est le cas du premier exemple (forme linéaire) mais pas du second (forme exponentielle) car tkexpkkkf 110
1 dépend de k 0 et de k 1 On peut toutefois dans ce cas particulier se ramener à des fonctions i kf indépendantes des paramètres à estimer en considérant la fonction g (k 0 , k 1 , t) = ln[ f (k 0 , k 1 , t)]= ln(Y) = ln(k 0 ) + k 1 t . On estimera alors les paramètres ln(k 0 ) et k 1 Il n'est cependant pas toujours possible de se ramener au cas de figure de fonctions i kf indépendantes des k i

, les méthodes des moindres carrés linéaires et de Gauss-Markov ne sont donc pas toujours applicables et il

faudra alors avoir recours à d'autres méthodes : méthode itérative, du gradient, de Newton ou dichotomique.

2.1 Paramètres liés par une relation linéaire

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