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H. Garnier

1

Hugues GARNIER

Apprentissage de modèles pour la commande ------ Algorithmes d'apprentissage de modèles à temps discret de systèmes dynamiques linéaires Learning flexible discrete-time models of linear dynamical systems

H. Garnier

2

Identification des systèmes dynamiques

• désigne une démarche scientifique visant à déterminer des modèles mathématiques de systèmes dynamiques à partir de données • fait partie des méthodes de machine learning - Identification des systèmes = apprentissage statistique de systèmes dynamiques • Cette méthodologie possède un domaine d'applications très large • Elle se concrétise par des algorithmes puissants de traitement de données disponibles dans des boîtes à outils Matlab - Boîte à outils System IDentification (SID) - Boîte à outils CONtinuous-Time System IDentification (CONTSID) développée au CRAN

H. Garnier

3

Méthodologie itérative d'identification

Définition du protocole d'acquisition Traitement et analyse des données Choix d'une structure de modèles Estimation paramétrique Validation du modèle oui non Validé ?

H. Garnier

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Sommaire

1. Estimation de modèles paramétriques linéaires à temps discret

• Principe de la minimisation de l'erreur de prédiction • La méthode des moindres carrés et ses limites • La méthode de variable instrumentale • Utilisation de la boîte à outils Matlab " System Identification »

2. Estimation de modèles paramétriques linéaires à temps continu

• La méthode des moindres carrés/SVF et ses limites • La méthode de variable instrumentale • Utilisation de la boîte à outils " Continuous-time System Identification »

développée au CRAN

3. Aspects pratiques de l'identification

• Choix de l'ordre du modèle • Validation de modèle

H. Garnier 5

Limites des modèles non paramétriques

• Le modèle non-paramétrique à temps discret complet des systèmes LTI peut être représenté

• Ce modèle est complètement caractérisé par : • les coefficients g o

(i) (nombre infini) de la réponse impulsionnelle du système • la densité spectrale du bruit v(t

k v (ω)=lH o (ω)l 2 e 2 • la densité de probabilité f e du bruit e(t k • En pratique, il est souvent impossible de déterminer les séquences infinies h o (i), g o (i) ainsi que f e • C'est pourquoi on choisit de considérer des structures flexibles de modèles paramétriques qui comprennent un nombre fini de paramètres à estimer y(t k e(t k u(t k

Go(q-1)Ho(q-1)

x(t k v(t k

H. Garnier 6

Types de modèles paramétriques linéaires

• Fonction (opérateur) de transfert (è systèmes SISO ou SIMO)

• Représentation d'état (è systèmes multi-entrée multi-sortie) Ces modèles contiennent un nombre fini de paramètres

H. Garnier 7

Objectif : déterminer un modèle paramétrique à temps discret d'un système à partir de données d'entrée/sortie

Plusieurs choix doivent être effectués : - quel modèle pour représenter l'effet des perturbations ? - quelle structure de modèles pour le système ? - quelle méthode d'estimation des paramètres du modèle choisi ?

Estimation paramétrique de modèles à temps discret Système T e T e

A-R A-R

u(t k y(t k perturbations entrée sortie

H. Garnier 8

Modèle des perturbations ?

• Perturbations : bruit sur la sortie, entrée non mesurée, ... • Elles sont souvent représentées comme des processus stochastiques stationnaires prenant la forme d'un terme additif sur la sortie

Système linéaire y(t

k perturbations v(t k u(t k e(t k ) est un bruit blanc gaussien à temps discret Sa densité de probabilité est définie par ses 2 premiers moments (moyenne et variance) _ e(t k ) ε N(0,λ 2 ) y(t k e(t k u(t k

Go(q-1)Ho(q-1)

v(t k

S={Go(q-1);Ho(q-1)}

H. Garnier 9

Structures de modèles paramétriques usuelles • Suivant la façon dont la perturbation est supposée intervenir, on obtient différentes structures de modèles y(t

k e(t k u(t k

A(q-1)y(tk)=B(q-1)u(tk)+e(tk))q(A

)q(B 1 1 )q(A 1 1- ARX y(t k e(t k u(t k

A(q-1)y(tk)=B(q-1)u(tk)+C(q-1)e(tk))q(A

)q(B 1 1 )q(A )q(C 1 1 ARMAX y(t k e(t k u(t k y(tk)=B(q-1)F(q-1)u(tk)+e(tk))q(F )q(B 1 1 OE e(t k y(t k u(t k )q(F )q(B 1 1 )q(D )q(C 1 1 BJ

FIR=ARX

si A(q -1 )=1

H. Garnier 10

Modèles paramétriques - Vocabulaire

• Le vecteur des paramètres θ rassemble les coefficients de G(q -1 ,θ) et H(q -1 ,θ) à estimer

• L'estimée de θ sera notée et dépendra de l'estimateur utilisé (MC,...) • Le but de l'estimation est de fournir le vecteur de paramètres qui sera

le plus approprié en fonction du but recherché y(t k e(t k u(t k

H. Garnier 11

Paramétrisation des opérateurs de transfert

• Les fonctions de transfert G(q -1 ,θ) et H(q -1

,θ) sont paramétrées de la manière suivante (paramétrisation utilisée au sein de la boîte à outils SID de Matlab)

où le vecteur des paramètres θ rassemble les coefficients b i , f i , c i et d i n k représente le nombre d'échantillons de retard entre la sortie et l'entrée n f , n b , n c et n d correspondent au nombre de paramètres à estimer des polynômes y(t k e(t k u(t k f b 1b kk n n 1 1 1n n 1 10 n 1 1 n 1 qfqf1 qbqbb q )q(F )q( B q),q(G

H. Garnier 12

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