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Calculer la moyenne et la variance des v a S = 2X − Y , T = X2 Exercice 33 Soit X de loi exponentielle λ > 0 Quelle est la loi de Y = √X? Montrer que Y

Comprendre la définition de la loi exponentielle Soit λ un réel strictement positif Démontrer que la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = λe−λx est une densité de

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LOIS EXPONENTIELLES - EXERCICES Exercice n°1 (correction) La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est modélisée par la loi

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Loi exponentielle E(λ) λ ∈]0, ∞[ ]0, +∞[ f(x) = λe−λx1]0 Exercice 2 Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles Soit X, Y deux

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Comme U et 1−U ont même loi, W suit aussi la loi exponentielle E(1) 3) La variable aléatoire R = √−log(U) a pour domaine de variation [0,∞[ Pour r < 0

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Calculer la loi de Y Exercice 39 Montrer que si X suit une loi exponentielle d' espérance 1, alors la variable Y = ⌈θX⌉ suit une loi géométrique de paramètre p

Corrigés des exercices

Corrigés des exercices 329 On vérifie la continuité de FZ au point z = 0 Il s'agit de la loi exponentielle E(2) (section 4 2 2) Exercice 1 9 Sur [0, 1] on a FX(x)

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(page de l'énoncé/page du corrigé) On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre λ= Dans la suite de l'exercice, on prendra λ = 0,125

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Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005 Corrigé Durée 2h – tous les documents sont autorisés Exercice n°1 (loi exponentielle) Sous l'hypothèse d' une

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EXERCICE 4 (3 points ) La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi

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pdf Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr

Il contient 10 exercices corrigés intégralement classés par thèmes et/ou par niveaux La page JGCUAZ FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices améliorations) il est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit madamemathswifeocomProbabilités Loi exponentielle Exercices corrigés - wifeocom

Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement) Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle Exercice 4 : calcul de

Corrigés des exercices sur la loi exponentielle Exemple 23 du

Exemple 23 du cours a La probabilité que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km est : 100 1 (50 6 D 6 100) = e? t 82 dt = h?e? 1 ti100 82 = ?e?100

Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr

Exercice 1 Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ; A; P) de loi exponentielle E(1) de paramètre 1 Décrire et représenter la fonction de répartition de la loi de la variable aléa- toire Z = min(X; 2)

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1 pendantes X suivant la loi uniforme U(0; ) sur l’intervalle [0; ] et Y la loi exponentielle E( ) de paramètre 0 Décrire la loi du couple (X; Y ) et calculer P(X ) Corrigé Comme X et Y sont indépendantes la loi du couple (X; Y ) est le produit des lois de X et Y à savoir la mesure

Licence Pluridisciplinaire : module PRBU

Quelques exercices de probabilité

1. Espace probabilisé.

Exercice 1.Soitf:X-→Yune application oùXetYsont deux ensembles non vides.

1.SoientA?XetB?Y; rappeler la définition def(A)et def-1(B).

2.(a) Montrer que pour toute famille(Bi)i?Ide parties deY,

f -1?? i?IB i? i?If -1(Bi), f-1?? i?IB i? i?If -1(Bi). (b) Établir que pour toute famille(Ai)i?Ide parties deX, f i?IA i? i?If(Ai), f?? i?IA i? i?If(Ai). Exercice 2.SoientXun ensemble non vide et(An)n?Nune suite de parties deX. On définit limsup nAn=? n? k≥nA k,et,liminfnAn=? n? k≥nA k.

1.Montrer queliminfnAn?limsupnAn.

2.DéterminerlimsupnAnetliminfnAndans les exemples suivants :

- la suite(An)n?Nest croissante; - la suite(An)n?Nest décroissante; -?n?N,A2n=AetA2n+1=BoùA?X,B?X; -X=Ret pour toutn,An=?

2 + (-1)n+1,3 +1n+1?

Exercice 3.1.Pourx?R,|x|<1, calculerS(x) =?

i≥0xi.

2.Pourn?Net|x|<1, montrer que

1(1-x)n+1=?

i≥0C nn+ixi. Exercice 4.Une main au bridge c"est la donnée de 13 cartes prises dans un jeu de 52. Trouver le

nombre de mains possibles. Quelle est la probabilité qu"une main possède exactement 3 trèfles?

exactement un roi et une dame? au moins un as?

Exercice 5.20 chevaux sont au départ d"une course. Trouver le nombre de tiercés, de quartés,

de quintés dans l"ordre et dans le désordre. Exercice 6.SoitΩun ensemble ànpéléments. Trouver le nombre de partitions deΩenn parties depéléments. Exercice 7.Quelle est la probabilité qu"au moins deux étudiants suivant le cours de PRBU possèdent le même anniversaire?

1Ph. Briand,05/07/2004

Exercice 8.Une ville compte 3 médecins; 4 personnes sont malades. Quelle est la probabilité

pour que tous les malades appellent le même médecin? Quelle est la probabilité pour que tous

les médecins soient appelés?

Exercice 9.Soient(Pk)k≥0une suite de probabilités sur(Ω,F)et(pk)k≥0une suite de réels de

[0,1]. Montrer que l"applicationP, définie par ?A? F,P(A) =? k≥0p kPk(A), est une mesure de probabilité sur(Ω,F)dès que? k≥0pk= 1. Exercice 10.Soient(Ω,F,P)un espace probabilisé etG={A? F,P(A) = 0,ouP(A) = 1}.

Montrer queGest une tribu surΩ.

Exercice 11.SoientPune mesure sur(Ω,F)et(An)n?N? Fune suite de parties deF. On k≥nP(Ak). Que vautP(A)si? nP(An)<+∞? Exercice 12.Trois machinesA,B,Cproduisent 50%, 30% et 20% du nombre total de pièces

fabriquées par une usine. Le pourcentage de pièces défectueuses pour chaque machine est res-

pectivement 3%, 4% et 5%.

1.Quelle est la probabilité qu"une pièce prise au hasard soit défectueuse?

2.Si on prend une pièce qui s"avère être défectueuse, quelle est la probabilité qu"elle ait été

produite parA,B,C? Exercice 13.Une particuleπpeut occuper deux positionsAetB. Au tempsn= 0,πse trouve enA. Pour tout entiern, on noteAn(respectivementBn) l"événement "πest enA (respectivement enB) au tempsn» etαn=P(An),βn=P(Bn). On suppose qu"il existe un réelθ?]0,1[tel queP(An∩An+1) =θαn,P(Bn∩Bn+1) =θβn.

1.Calculer, en fonction deθetβn,P(Bn∩An+1).

2.Déterminer une relation de récurrence entreαnetαn+1puis calculer la limite de la suite

(αn)n≥0.

Exercice 14.La police recherche un alcoolique qui est, avec probabilitép, occupé à étancher sa

soif dans l"un des huit bistrots du quartier. Sachant qu"il n"a pas de préférence pour un bistrot

et que les policiers l"ont cherché en vain dans les sept premiers bistrots, quelle est la probabilité

qu"il le déniche dans le huitième? Exercice 15.On considèrenmenteurs indépendantsI1,...,In. Le premier menteur reçoit une information sous la forme oui ou non. Chacun d"eux transmet le message qu"il a reçu à son

successeur avec probabilitép. Le dernier écrit au tableau le message qu"il a reçu avec probabilité

p. Calculer la probabilitépnde l"événement " l"information est fidèlement transmise ».

2. Variable aléatoire réelle.

Exercice 16.SoitXune v.a.r. de fonction de répartitionFavecF(x) = 0six <0,F(x) =x/4 Tracez le graphe deFpuis calculerP(X= 1/2),P(X= 1),P(X?]1/2,3/2]). 2 Exercice 17.À quelle condition sur le réelλ, la fonctionp(x) =λ|x|exp(-|x|)est-elle une densité de probabilité? Dans ce cas, déterminer la fonction de répartition associée? Exercice 18.1.SoitXune v.a. de loi uniforme sur[0,1]. Déterminer les lois deY=u(X)et

Z=v(X)siu(x) = 1-xetv(x) = min(x,1-x).

2.Déterminer la fonction de répartition deT= max(S,0)oùSsuit la loi de Cauchy. La v.a.T

possède-t-elle une densité? Construire à l"aide deXune variable aléatoireZprenant les valeursa,betcavec probabilité p,qetrsip,q,rsont trois réels de[0,1]tels quep+q+r= 1.quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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