[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento PDF exos_probas_agreg14

Loi exponentielle E(λ) λ ∈]0, ∞[ ]0, +∞[ f(x) = λe−λx1]0 Exercice 2 Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles Soit X, Y deux

Comprendre la définition de la loi exponentielle Soit λ un réel strictement positif Démontrer que la fonction définie sur [0; +∞[ par f(x) = λe−λx est une densité de

[PDF] Loi exponentielle exercices corrigés Document gratuit - Maurimath

LOIS EXPONENTIELLES - EXERCICES Exercice n°1 (correction) La durée de vie, en heures, d'un composant électronique est modélisée par la loi

[PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Loi exponentielle E(λ) λ ∈]0, ∞[ ]0, +∞[ f(x) = λe−λx1]0 Exercice 2 Minimum et maximum d'une famille de variables aléatoires exponentielles Soit X, Y deux

[PDF] Exercices corrigés - IMT Atlantique

Comme U et 1−U ont même loi, W suit aussi la loi exponentielle E(1) 3) La variable aléatoire R = √−log(U) a pour domaine de variation [0,∞[ Pour r < 0

[PDF] Exercices de Probabilités

Calculer la loi de Y Exercice 39 Montrer que si X suit une loi exponentielle d' espérance 1, alors la variable Y = ⌈θX⌉ suit une loi géométrique de paramètre p

Corrigés des exercices

Corrigés des exercices 329 On vérifie la continuité de FZ au point z = 0 Il s'agit de la loi exponentielle E(2) (section 4 2 2) Exercice 1 9 Sur [0, 1] on a FX(x)

[PDF] Exercices de baccalauréat série S sur la loi exponentielle

(page de l'énoncé/page du corrigé) On admet que la variable D suit une loi exponentielle de paramètre λ= Dans la suite de l'exercice, on prendra λ = 0,125

[PDF] loi exponentielle - Ressources actuarielles

Modèles de durée / Examen du 13 mai 2005 Corrigé Durée 2h – tous les documents sont autorisés Exercice n°1 (loi exponentielle) Sous l'hypothèse d' une

[PDF] Loi exponentielle - Maths-francefr

EXERCICE 4 (3 points ) La durée de vie d'un robot, exprimée en années, jusqu'à ce que survienne la première panne est une variable aléatoire qui suit une loi

[PDF] Quelques exercices de probabilité - LAMA - Univ Savoie

Calculer la moyenne et la variance des v a S = 2X − Y , T = X2 Exercice 33 Soit X de loi exponentielle λ > 0 Quelle est la loi de Y = √X? Montrer que Y

pdf Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr

Il contient 10 exercices corrigés intégralement classés par thèmes et/ou par niveaux La page JGCUAZ FR étant en constante évolution (ajout de nouveaux exercices améliorations) il est conseillé de régulièrement la visiter pour y télécharger la nouvelle version de ce fichier

leay:block;margin-top:24px;margin-bottom:2px; class=tit madamemathswifeocomProbabilités Loi exponentielle Exercices corrigés - wifeocom

Exercices corrigés Sont abordés dans cette fiche : (cliquez sur l’exercice pour un accès direct) Exercice 1 : densité de probabilité Exercice 2 : loi exponentielle de paramètre (loi de durée de vie sans vieillissement) Exercice 3 : calcul de probabilité d’un événement avec la loi exponentielle Exercice 4 : calcul de

Corrigés des exercices sur la loi exponentielle Exemple 23 du

Exemple 23 du cours a La probabilité que la distance parcourue sans incident soit comprise entre 50 et 100 km est : 100 1 (50 6 D 6 100) = e? t 82 dt = h?e? 1 ti100 82 = ?e?100

Leçon 10 Exercices corrigés - univ-toulousefr

Exercice 1 Soit X une variable aléatoire sur un espace probabilisé ( ; A; P) de loi exponentielle E(1) de paramètre 1 Décrire et représenter la fonction de répartition de la loi de la variable aléa- toire Z = min(X; 2)

Searches related to exercice corrigé loi exponentielle

1 pendantes X suivant la loi uniforme U(0; ) sur l’intervalle [0; ] et Y la loi exponentielle E( ) de paramètre 0 Décrire la loi du couple (X; Y ) et calculer P(X ) Corrigé Comme X et Y sont indépendantes la loi du couple (X; Y ) est le produit des lois de X et Y à savoir la mesure

Année universitaire 2013-2014

Exercices de probabilités

avec éléments de correctionMemento

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

F onctionde répartition (si d= 1) :FX(t) =P(Xt),t2R F onctiongénératrice (si Xà valeurs dansN) :GX(s) =E[sX] =P1 n=0P(X=n)sn,s2 j R;Rj T ransforméede Laplace : LX() =E[eh;Xi]2]0;+1],2Rd F onctioncaractéristique : X(t) =E[eiht;Xi]2C,t2Rd Lois discrètesNomParamètresSupportDéfinition :P(A) =P

a2Ap(a)Loi de Diracaa2Rfagp(a) = 1Loi de BernoulliB(p)p2[0;1]f0;1gp(0) = 1p,p(1) =pLoi binomialeB(n;p)n2N,p2[0;1]f0;:::;ngp(k) =n

kpk(1p)nkLoi géométriqueG(p)p2]0;1]N p(k) = (1p)k1pLoi de PoissonP()2]0;+1[Np(k) =ekk!Lois continues

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Af(x)dxLoi uniformeU([a;b])a < b[a;b]f(x) =1ba1[a;b](x)Loi exponentielleE()2]0;1[]0;+1[f(x) =ex1]0;+1[(x)Loi de Cauchya2]0;+1[Rf(x) =a(a2+x2)Loi normale/gaussienneN(m;2)m2R; 22]0;+1[Rf(x) =1p22exp

(xm)222Déterminer des lois : exemples

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

SoitX1;X2;:::une suite de variables aléatoires indépendantes et de loiB(p)oùp2[0;1].

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

fonctions génératrices.

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 2.Minimum et maximum d"une famille de variables aléatoires exponentielles

SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de lois respectivesE()etE(). À l"aide de fonctions de

répartition, déterminer les lois deU= min(X;Y)etV= max(X;Y). On précisera leur densité (le cas échéant).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

puis via les fonctions génératrices.

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

caractéristiques, déterminer la loi deX+Y.Pour obtenirX, on pourra utiliser la formule de Cauchy avec un

contour bien choisi, ou alors avoir l"idée de calculer la fonction caractéristique de la loi de Laplace

a2 eajxjdx et utiliser la formule d"inversion.

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

. En déduire la loi de 1Z siZsuit une loi de Cauchy de paramètre 1.

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

(X;Y) = (Rcos;Rsin),R >0et2[0;2[. Montrer queRetsont indépendantes et déterminer leurs lois.

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

a;par sa densité relativement à la mesure de Lebesgue : f a;(x) =a(a)xa1ex1R+(x):

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

(V1;V1+V2;:::;V1++Vn)et en déduire queV1++Vn n;.Pourn= 1, ok. Supposonsn2etS:=V1+:::+Vn1de loi n1;. Soitgune fonction mesurable bornée deRdansR. On a

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) et

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

R g(t)dPV1+:::+Vn(t): Commef(v1;:::;vn1) =v1+:::+vn1etg(vn) =v2nmesurables on en déduit queSetVnsont indépen- dantes car(V1;:::;Vn1)etVnle sont, Z R g(x+y)dP(S;Vn)(x;y) =Z 1 0 dxZ 1 x dtg(t)n1(n1)etxn2 Z 1 0 g(t)n1(n1)etxn1=(n1)t 0dt Z R g(t)n(n)exp(t)tn11R+(t)dt

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

a;.

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

a;1.

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=y)définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes, le couple(X;Y)a pour densitédPX(x)dPY(y)par rapport à la mesure de Lebesgue surR2. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=y, pourx >0ety >0; Ceci est équivalent àx=uv=(v+ 1)ety=u=(v+ 1)pouru >0etv >0.

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

=u(v+ 1)2. Il suit

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

2 Les variables sont indépendantes,dPX+Y(u) =2a(2a)u2a1eu1u>0duetdPX=Y(v) = (2a)(a)2v a1(v+ 1)2a1v>0dv.

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)

oùf(x;y) = (x+y;x=(x+y))définie de(R+)2vers(R+)2. Comme les variablesXetYsont indépendantes,

le couple(X;Y)a pour loidPXdPY=fa;(x)fa;(y)dxdy. On fait alors le changement de variableu=x+y,v=x=(x+y), pourx >0ety >0;quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] [PDF] Exercices de probabilités avec éléments de correction Memento

Année universitaire 2013-2014

Exercices de probabilités

Fonctions associées aux lois

PourXvariable aléatoire à valeurs dansRd,

NomParamètresSupportDéfinition :P(A) =R

Exercice 1.Lois binomiale et géométrique

1.On supposep >0. On définitN= inffn1jXn= 1g.

1.a)Montrer queP(N=1) = 0et queNsuit la loi géométrique de paramètrep.

1.b)Calculer l"espérance et la variance deN.

2.Soitn1. On définitSn=X1++Xn.

2.a)Montrer queSnsuit la loi binomiale de paramètresnetp, par une preuve directe puis en utilisant des

2.b)Calculer l"espérance et la variance deSn(utiliser la définition deSn).

Exercice 3.Somme de variables aléatoires

1.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loisP()etP(). Déterminer la loi deX+Y, directement

2.SoitX;Ydes variables aléatoires indépendantes de loi de Cauchy de paramètreaetb. À l"aide des fonctions

Exercice 4.Lois images

1.SoitXune variables aléatoire de loiE(). Déterminer la loi debXc+ 1.C"est une loi géométrique.

2.SoitUune variable aléatoire de loiU([1;1]). Déterminer la loi dearcsin(U).

3.SoitXde loiN(0;1). Déterminer la loi dejXj.

4.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). Déterminer la loi deXY

5.SoitX;Ydeux variables aléatoires indépendantes de loiN(0;1). On définit les variables aléatoiresR;par

Exercice 5.Loi Gamma

Poura >0et >0, on définit la loi

1.Vérifier que cette fonction définit bien une densité.

2.Déterminer l"espérance de cette loi.On utilise le fait que(a+ 1) =a(a)pour obtenir que l"espérance de cette loi esta=.

3.SoitV1;V2;:::;Vndes variables aléatoires réelles indépendantes de loiE(). Déterminer la loi du vecteur

E(g(V1+:::+Vn)) =E(g(S+Vn)) =Z

E(g(V1+:::+Vn)) =Z

4.SoitXetYdeux variables aléatoires réelles indépendantes de loi

4.a)Déterminer la loi deX.On peut utiliser la fonction de répartition. Avec un changement de variable on voit queX

4.b)Montrer queX+YetX=Ysont des v.a. indépendantes dont on calculera les lois.Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=Y)(u;v)

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2gf(x;y)dP(X;Y)(x;y)

On a de plusjJ(u;v)j=v=(v+ 1)u=(v+ 1)

1=(v+ 1)u=(v+ 1)2

E(g(X+Y;X=Y)) =Z

2g(u;v)u2a1eu1u>0va1(v+ 1)2a1v>02a(a)2dudv:

4.c)Montrer queX+YetX=(X+Y)sont des v.a. indépendantes. Calculer la loi deX=(X+Y).Soitgune fonction mesurable bornée deR2dansR2. On a

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2g(u;v)dP(X+Y;X=(X+Y))(u;v)

E(g(X+Y;X=(X+Y))) =Z

2gf(x;y)dP(X+Y;X=(X+Y))(x;y)