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Exercices de Probabilités

Christophe Fiszka, Claire Le GoffSection ST

Table des matières

1 Introduction aux probabilités 2

2 V.a.r, espérance, fonction de répartition 3

3 Lois usuelles 5

3.1 Loi de Bernoulli, loi binomiale . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.8 Autres lois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 Fonctions caractéristiques 7

5 Convergences de v.a.r 8

6 Couples de variables aléatoires 9

7 Introduction aux statistiques 10

8 Compléments 11

8.1 La méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 L"entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.3 Datation au Carbone 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9 Sujets d"examens 12

9.1 Partiel ELI 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.2 Partiel ELI 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3 Partiel ST 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 Examen ELI 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.5 Examen ELI 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.6 Examen ST 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 Solutions des sujets 18

1 INTRODUCTION AUX PROBABILITÉS2

1 Introduction aux probabilités

Exercice 1.Le chevalier de Méré est un noble et écrivain français très ama- teur de jeu d"argent. Contemporain de Blaise Pascal, il s"opposa à ce dernier sur un problème de jeu de dés : Sur un lancer de 4 dés, il gagne si au moins un " 6 » apparaît. 1. Méré remarque exp érimentalementque le jeu lui est fa vorableet e n profite pour s"enrichir. Prouvez que le jeu est effectivement favorable, i.e on gagne en moyenne si on parie sur le " 6 ». Malheureusement pour notre chevalier, celui-ci trouva de moins en moins de candidats. Il proposa la variante suivante : On lance24fois une paire de dés et il gagne si un " double6» apparaît. basée sur le raisonnement suivant : la probabilité d"obtenir un " double

6 » est de1=36soit6fois moins de chance que d"obtenir un simple "6».

Donc en jouant six fois plus longtemps, c"est à dire en lançant donc

64 = 24paires de dés, on doit obtenir un jeu tout aussi favorable que le

premier. Pascal et Fermat, dans leur correspondance sur les probabilités, montrèrent que le raisonnement du Chevalier était faux. 2. P ouvez-vousmon trerque le second jeu est défa vorable? Extrait de la lettre du 29 juillet 1654 de Pascal à Fermat mentionnant le problème du chevalier de Méré :

Je n"ai pas eu le temps de vous

envoyer la démonstration d"une dif- ficulté qui étonnait fort M. de Méré, car il a très bon esprit, mais il n"est pas géomètre (c"est, comme vous sa- vez, un grand défaut) et même il ne comprend pas qu"une ligne mathéma- tique soit divisible à l"infini et croit fort bien entendre qu"elle est compo- sée de points en nombre fini, et je n"ai jamais pu l"en tirer. Si vous pouviez le faire, on le rendrait parfait. Il me disait donc qu"il avait trouvé fausseté dans les nombres par cette raison :Pierre de Fermat (1601-1665)Blaise Pascal (1623-1662)

Si on entreprend de faire un six

avec un dé, il y a avantage de l"en- treprendre en 4, comme de 671 à625. Si on entreprend de faire Son- nez avec deux dés, il y a désavan- tage de l"entreprendre en 24. Et néan- moins 24 est à 36 (qui est le nombre des faces de deux dés) comme 4 à 6 (qui est le nombre des faces d"un dé).

Voilà quel était son grand scandale

qui lui faisait dire hautement que les propositions n"étaient pas constantes et que l"arithmétique se démentait : mais vous en verrez bien aisément la raison par les principes où vous êtes. Exercice 2.On considère une pièce que l"on lance4fois de suite et on note, dans l"ordre, les résultats obtenus. 1.

Quel univ ersdes p ossibles

peut-on choisir? Quel ensemble des événe- mentsEpeut-on choisir? Quelle loi de probabilitéPpeut-on choisir? 2. On considère l"év énementA=fil y a plus de piles que de facesget l"événementB=fle premier lancer est pileg.

Calculer la probabilité deAet celle deB.

3.AetBsont-ils indépendants?

Exercice 3.On considère un jeu de loterie qui consiste à effectuer un tirage sans remise de5boules parmi50boules numérotées de1à50puis un tirage sans remise de 2 étoiles parmi11étoiles numérotées de1à11. Chaque per- sonne mise2euros et choisit5numéros de boules et2numéros d"étoile. Après chaque tirage (où l"ordre dans lequel sont tirées les boules et les étoiles n"est pas pris en compte), une personne gagne une certaine somme en fonction du nombre de boules et d"étoiles tirées qu"elle avait préalablement choisi. 1.

Quel univ ersdes p ossibles

peut-on choisir? Quel ensemble des événe- mentsEpeut-on choisir? Quelle loi de probabilitéPpeut-on raisonna- blement choisir? 2. Quelle est la probabilité d etirer le gros lot (ie. d"obtenir les 5bonnes boules et les2bonnes étoiles)? 3. On supp oseque l"on gagne à partir du momen toù l"on a au moin s2 b ons numéros de boules, ou alors un bon numéro de boules et deux bonnes étoiles. Quelle est la probabilité de gagner quelque chose? Exprimer ceci sous la forme " on a environ une chance sur:::de gagner ».

2 V.A.R, ESPÉRANCE, FONCTION DE RÉPARTITION3

4. Est-il plus probable d"a voirdeux b ouleset pas d"étoiles ou alors d" avoir une boule et deux étoiles? Même question si l"on compare deux boules et une étoile avec une boule et deux étoiles. Est-ce intuitivement cohérent? Exercice 4.Un Q.C.M comporte10questions. À chaque question, on a 4 choix possibles pour une seule réponse juste. 1. Com bieny- a-t-ilde grille-rép onsesp ossibles? 2. Quelle est la probabilité de rép ondreau hasard 6fois correctement. En conclusion, allez vous répondre au hasard à votre prochain Q.C.M? Exercice 5.Alice, Bob, et Jo, au cours d"un safari, tirent en même temps sur un éléphant. L"animal est touché par deux balles avant de s"écrouler. La précision des chasseurs est mesurée par la probabilité qu"il touche la cible (resp.1=3,1=2et1=4). Calculer pour Alice, Bob et Jo, la probabilité d"avoir raté l"éléphant. Exercice 6.Au cours d"un voyage low-cost en avion entre Paris et New-York en passsant par Hong-Kong et Sidney, Alice perd sa valise. La probabilité que la valise soit perdue à Orly, à JFK, à Kai Tak ou encore à sir Charles Kingsford Smith est la même. Quelle est la probabilté que la valise d"Alice soit encore en Austalie? Exercice 7.On considèrenurnes numérotées de1àn. L"urne numérok contientkboules vertes etnkboules rouges. On choisit une urne au hasard puis on tire une boule dans cette urne. Quelle est la probabilité d"obtenir une boule verte? Quelle est la limite de cette probabilité quandn!+1? Exercice 8.Un marchand reçoit un lot de montres. Il sait que ce lot peut venir soit de l"usineAsoit de l"usineB. En moyenne, l"usineA(resp.B) produit une montre défectueuse sur200(resp. sur1000). Notre marchand teste une première montre : elle marche. Quelle est la probabilité que le second test soit positif? Exercice 9.Une maladie affecte statistiquement une personne sur1000. Un test de dépistage permet de détecter la maladie avec une fiabilité de99%, mais il y a0:2%de chances que le test donne un faux positif (i.e. une personne est déclarée malade sans l"être). 1. Une p ersonneest testée p ositivement.Quelle est la probabilité qu"elle soit réellement malade? 2. Une p ersonneest testée négativ ement.Quelle est la probabilité qu"elle soit quand même malade? 3.

Ce dépis tageremplit-il son rôle ?

Exercice 10.

(P aradoxedes anniv ersaires)1.Considérons npersonnes, quelle est la probabilité notéep(n) d"avoir au moins deux personnesquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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3.2 Loi de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.3 Loi géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.4 Loi hypergéométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.5 Loi uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.6 Loi normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3.7 Loi exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5 Convergences de v.a.r 8

6 Couples de variables aléatoires 9

7 Introduction aux statistiques 10

8 Compléments 11

8.1 La méthode de Monte-Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.2 L"entropie de Shannon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9.2 Partiel ELI 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.3 Partiel ST 2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9.4 Examen ELI 2012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 » est de1=36soit6fois moins de chance que d"obtenir un simple "6».

64 = 24paires de dés, on doit obtenir un jeu tout aussi favorable que le

Je n"ai pas eu le temps de vous

Si on entreprend de faire un six

Voilà quel était son grand scandale

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Calculer la probabilité deAet celle deB.

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2 V.A.R, ESPÉRANCE, FONCTION DE RÉPARTITION3

Ce dépis tageremplit-il son rôle ?

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