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UniversiteBlaisePascal

U.F.R.SciencesetTechnologies

DepartementdeMathematiquesetInformatique

LicencedeMathematiques

Troisiemeannee,U.E.35MATF2

ALGEBRE:GROUPESETANNEAUX1

Polycopieducours

2007-2008

FrancoisDumas

LicencedeMathematiques,3emeannee

U.E.35MATF2

Coursd'algebre:groupesetanneaux1

FrancoisDUMAS

Chapitre1.{Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

3.Morphismesdegroupes

4.Produitdirectdegroupes.

5.Groupessym

etriques

6.Groupesdi

edraux

Chapitre2.{Groupes:groupesquotients

1.Sous-groupesnormaux

3.Quelquescompl

ements

Chapitre3.{Anneaux:lespremieresnotions

1.Anneauxetsous-anneaux

2.Id eaux

3.Anneauxquotients

4.Anneauxeuclidiens,anneauxprincipaux

1.Notionsg

en erales

2.Arithm

etiquedanslesanneauxprincipaux

3.Arithm

etiquedanslesanneauxfactoriels

4.Factorialit

edesanneauxdepolyn^omes

Chapitre1

Groupes:lespremieresnotions

1.Groupesetsous-groupes

1.1Notiondegroupe

1.1.1D

1.1.2D

(A1)laloiestassociativedansG; (A2)laloiadmetunelementneutredansG;

1.1.3D

1.1.4Exemples.

abelien. 1 multiplicative. conventionsx0=e,etxn=(xn)1. quelconqueestnecessairementunique. pourconclurequeGestungroupe.

1.2Sous-groupe

C

1.2.2D

sontveriees: laquelleHestlui-m^emeungroupe. 2

1.2.3Exemples.

sous-groupedeU.

1.2.4Remarques.

sous-ensemblenon-vided'ungroupeG,alors groupeconnun'estpasunsous-groupe). sous-grouped'ungroupedejaconnu.

1.2.5Exemples.

sous-groupedeGL(E),noteSL(E). touteslesbijectionsdeRsurR. sous-groupedeG. 3 groupesd'ungroupeG.PosonsK=T quiprouvequeKestunsous-groupedeG.ut

1.3Casparticulierdesgroupesnis

1.3.1D

1.3.2Exemples.

C

1.3.3Th

eor estni,etl'ordredeHdivisel'ordredeG. xh donchi=hjdonci=j). diagonaleprincipale.

1.3.5Exemples.

4 11 111
111
1jj2 11jj2 jjj21 j2j21j 1i1i 11i1i ii1i1 11i1i ii1i1 (b)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=0110;b=1001;c=0110.

G1eabc

eeabc aabce bbcea cceab (c)DansGL2(R),notons: e=(1001);a=1001;b=1001;c=1001.

G2eabc

eeabc aaecb bbcea ccbae

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); abelien. d'ordre3quiestfe; 2g. e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e

2.Groupesmonog

enes,groupescycliques

2.1Sous-groupeengendreparunelement

2.1.1Propositionetd

deGcontenantX.

2.1.2D

hxi=fxm;m2Zg. x x 5 x

2.1.4D

d'entreeux.End'autrestermes: (xestd'ordrendansG),(xn=eetxm6=esi1m2.1.6Remarques. toutelementestd'ordrenidivisantjGj. estlui-m^emeinni. nietlegroupeh5i=f5m;m2Zgestinni.

2.2Groupesmonogenes,groupescycliques.

2.2.1D

d'aprescequiprecede:

G=fe;x;x2;x3;:::;xn1g.

groupemonogeneinniestmonogeneinni. parxdoun=dq. 6

2.3Generateursd'ungroupecyclique.

2.3.1Exemplepr

eliminaire. x danslecercleunite. deG,quicorrespondausegmentAD.

Figure1

2.3.2Th

eor x2H,ilexisteu2Ztelquex=xku x2H,ilexisteu2Ztelquexku1=e x2H,ilexisteu;v2Ztelqueku+nv=1. eux,cequiachevelapreuve.ut N !Ndeniepar'(1)=1et,pourtoutentiern2:

Pardenitionde',onpeutcalculer:

deGsontxetx1.

2.4Groupesnisd'ordrepremier

1.Gestcyclique,

2.lesseulssous-groupesdeGsontfegetG,

7 dutheoreme2.3.2.ut

3.Morphismesdegroupes

3.1Notiondemorphismedegroupes

3.1.1D

f(x:y)=f(x)f(y)pourtousx;y2G.

3.1.2Exemples.

lamultiplication,car: det(AB)=detA:detB,pourtoutesA;B2GLn(R). (b)L'applicationexp:R!R degroupesdeRmunidel'additiondansR +munidelamultiplication,car: exp(x+y)=expx:expy,pourtousx;y2R. estunmorphismedegroupesdevientalors: f(x:y)=f(x):f(y)pourtousx;y2G, (ii)f(x1)=f(x)1,pourtoutx2G, (iii)f(xn)=f(x)n,pourtoutx2Gettoutn2Z. etsif:G!G0estunmorphismedegroupes,ona: ff(x);x2Hgestunsous-groupedeG0; sous-groupedeG. prouveleresultatvoulu.ut 8

Preuve.Evidente,laisseeaulecteur.ut

3.2Imageetnoyau

3.2.1Propositionetd

appelel'imagedef,etnoteImf; noteKerf.

3.2.2Propositionetd

(i)festsurjectivesietseulementsiImf=G0; x:y ainsimontree,cequiachevelapreuve.ut

3.2.3Exemples.Reprenonslesexemples3.1.2.

(b)Lemorphismeexp:R!R cequiprouvequ'ilestaussiinjectif.

3.3Isomorphismesdegroupes

3.3.1D

f

1estunisomorphismedegroupesdeG0surG.

G,cequiachevelapreuve.ut

3.3.3D

3.3.4Remarquesimportantes.

decesderniersparf. 9 G realisationconcretequel'onrencontre.

01;(01

10)gdeGL2(R)etudieen1.3.5.betle

01;(10

01)getudieen1.3.5.cneleurestpas

reellementd'unautregroupe.

3.3.5Quelquescons

equencesaretenir. n.OnlenoteCn. deslorsquen6=m. p;c'estlegroupecycliqueCp. f:Z!G m7!xm etleurstablesrespectivessont:

C4eabc

eeabc aabce bbcea cceab Veabc eeabc aaecb bbcea ccbae quidonnelapremieretable. 10 obtientlasecondetable. dontonadonnelatableen1.3.5.d.

3.4Automorphismesdegroupes

3.4.1D

deGdansGquiestunebijectiondeGsurG. d'arriveeestlem^emequelegroupededepart. elle-m^emeunautomorphismedeG.

3.4.2Exemples.L'application

:C!Cdenieparz7! (z)= zestunautomorphisme dugroupeCmunidel'addition;ilverie 1= .L'applicationc:R +!R +deniepar x7!c(x)=x2estunautomorphismedugroupeR +munidelamultiplication;sabijection reciproqueestl'automorphismec1:R +!R +deniparx7!c1(x)=px.

3.4.3Propositionetd

f

3.5Automorphismesinterieursetcentre.

3.5.1Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. deG,appelelecentredugroupeG,etnoteZ(G):

Z(G)=fx2G;gx=xgpourtoutg2Gg.

(ii)Lesous-groupeZ(G)estabelien. (iii)GestabeliensietseulementsiZ(G)=G. x

Lespoints(ii)et(iii)sontalorsevidents.

11 queZ(G)=T x2GC(x).

3.5.3Propositionetd

efinition.SoitGungroupe. x(g)=xgx1pourtoutg2G

Preuve.(i)Fixonsx2G.Pourtoutg2G,ona:

x1(x(g))=x1(xgx1)x=g=x(x1gx)x1=x(x1(g)). ona:

Cequiachevelapreuve.

4.Produitdirectdegroupes.

4.1Produitdirect(externe)dedeuxgroupes

4.1.1Propositionetd

est(e1;e2). 12

4.1.2Remarques.Ilestclairque:

desexemples.

4.2.2Premierexempleintroductif.

satable. e=(e;e),a=(e;x),b=(x;e)etc=(x;x).

DoncC2C2n'estpascyclique.

(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;e)(e;e)(e;x)(x;e)(x;x) (e;x)(e;x)(e;e)(x;x)(x;e) (x;e)(x;e)(x;x)(e;e)(e;x) (x;x)(x;x)(x;e)(e;x)(e;e)

4.2.3Secondexempleintroductif.

Onetablitaisementsatable.

(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (e;")(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2) (x;y)(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;") (e;y2)(e;y2)(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y) (x;")(x;")(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2) (e;y)(e;y)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;") (x;y2)(x;y2)(e;")(x;y)(e;y2)(x;")(e;y)

OnconclutqueC2C3'C6estcyclique.

4.2.4Th

eor premiersentreeux. G z laisseeaulecteur.ut laforme: C nCm'Cnm()metnpremiersentreeux. 13 parunelementdeK.HK=fhk;h2H;k2Kg.

2h1=k2k1

1.Lepremierproduit

Donch1

2h1=k2k1

12H\K,c'est-a-direh1

2h1=k2k1

1=e,etdonch2=h1etk2=k1.

(h;k)7!hk.

4.3.2D

(1)G=HK,(2)H\K=feg,(3)8h2H;8k2K;hk=kh. (a)Exemple.Soient:G=f

10c01b001

;b;c2Rg,H=f

10001b001

;b2Rg,K=f

10c010001

;c2Rg, produitdirectdeHparK. (b)Exemple.Soit:G=f(1001);100j;10 0j2 ;j0 01; j20 01 ;j0 0j;j0 0j2 j20 0j ;j20 0j2 g. y=j0 commelemontrelapropositionsuivante. leurproduitdirect.Posons: 14

5.Groupessym

etriques

5.1Notiondegroupesymetrique.

5.1.1Remarquepr

nedependdoncquedesoncardinal.

5.1.2D

quelconquesurlui-m^eme.OnlenoteSn. (a)Snestungroupeni,d'ordren!. tationsouslaforme=123n(1)(2)(3)(n) n3).Posons =ijk jki et=ijk ikj .Ona =ijk jik et =ijk kji .Donc 6=

2;1;2;3gavec:

e=(123123); =(123231); e 2123
ee 2123
2e312
2 2e 231
1123e
2 2231
2e 3312
2e commeonl'avuen3.3.5.(d)). S etfe;3g,etunsous-grouped'ordre3quiestfe; 2g.

5.2.1D

c'est-a-dire1=.

5.2.2Th

eor S 15

5.3Signature

5.3.1D

d'inversionsdel'entier: "()=(1)I().

DoncI()=ji+ji1=2(ji)1estimpair.

2Sn,ona:"(

7!"() estunmorphismedegroupes. Q

2Sn,ona

(f)=( (x1;x2;:::;xn)=Q

1i x

2Sn,ona:

).Commel'applicationn'est )"().ut

5.3.4Corollaire.Soit2Sn.

deenproduitdetranspositions.

5.4Groupealterne.

5.4.1.D

noteAn. 2. etAn\X=;,onconclutquecardX=jAnj=1

2jSnj=12n!.ut

16

2gavec

=(123231). x

1=(12341342),y1=(12341423)=x2

1,x2=(12343241),y2=(12344213)=x2

2, x

3=(12342431),y3=(12344132)=x2

3,x4=(12342314),y4=(12343124)=x2

4. eabcx1y1x2y2x3y3x4y4 eeabcx1y1x2y2x3y3x4y4 aaecbx3x4y3y4x1x2y1y2 bbceay4x2y1x3y2x4y3x1 ccbaey2y3x4x1y4y1x2x3 x1x1y4y2x3y1ecx4x2aby3 y1y1y3x4x2ex1x3bcy4y2a x2x2x4y3y1by4y2eax1x3c y2y2x3x1y4y3cex2x4bay1 x3x3y2y4x1x4aby1y3ecx2 y3y3y1x2x4cy2y4aex3x1b x4x4x2y1y3ax3x1cby2y4e y4y4x1x3y2x2bay3y1cex4

Lestroiselementsa,b,c

sontd'ordre2,etlesous- groupeV=fe;a;b;cgdeA4 estlegroupedeKlein.

Leshuit3-cyclesxi;yipour

1i4sontd'ordre

3.Onobtientdoncquatre

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