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ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 Polycopié 2 1 Sous-groupe engendré par un élément 4 2 Produit direct de groupes cycliques, théor`eme chinois

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Chapitre 1 : Groupes Algèbre et géométrie Page 1 sur 16 I Généralités A) Définition Un groupe est un couple ),(∗ G constitué d'un ensemble G et d'une loi 

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7 jan 2013 · Exercice 2 Toute variété algébrique affine est isomorphe à un sous-ensemble algébrique d'un certain kn Exercice 3 Soit f : X → Y un morphisme 

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Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Définition Définition 1 Un groupe ( G,⋆) 

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∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a), alors on dit que G est un groupe commutatif ou abélien Les exemples 1) ci-dessus sont des groupes abéliens, mais Sn n'est pas  

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Il existe au moins un sous-groupe de (G, ∗) contenant A à savoir G lui-même Soit alors H l'intersection de tous les sous-groupes de G contenant la partie A H est 

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On a par exemple Spin(3) ≃ SU(2) Groupes linéaires Le groupe SLn(C) est simplement connexe et le déterminant fournit π1(GLn(C)) ≃ π1 

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Aujourd'hui, G désigne un groupe fini Dans un premier temps, on va poursuivre l' étude des caractères sur les corps algébriquement clos de caractéristique 

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Algebre 1 Chapitre I : Groupes La structure de groupe est simple (une loi 3 axiome), mais est un groupe abéliens d'ordre n pour la multiplication complexe

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(Z,+)

G=ta,b,cu ♡

x♡y x y a b c a a b c b b c a c c a b a b♡c=c♡b=a G

¯x x

xPG,¯¯x=x x,yPG x,y,zPG x=y ā ĕ x1=x2 nPNx$n

˛x$0 =e

(x$n)$p=x$(nˆp) Ŀ ŀ xPGnPN x$(´n) = ¯x$n x$(´n) = x$n

ĕ Z

(G,ˆ) 1G xPG x´1 x

ˆ xˆy xy

(x´1)´1=x (xy)´1=y´1x´1 xy=zðñx=zy´1 yx=zðñx=y´1z xz=yzùñx=y zx=zyùñx=y x

0= 1Gx1=x

@nPN,x(n+1)=xnx@nPN,x´1= (x´1)n= (xn)´1 @n,pPZ,xnxp=x(n+p)@n,pPZ,(xn)p=xnˆp (G,+) xPG ´x x

´(´x) =x

´(x+y) = (´y) + (´x) = (´x) + (´y)

(y+x=)x+y=zðñx=z+ (´y) z+ (´y) z´y x+z=y+zùñx=y

0.x= 0G1.x=x

@nPN,(n+ 1).x=n.x+x@nPN,(´n).x=n.(´x) =´(n.x) ´n.x @n,pPZ,n.x+p.x= (n+p).xp.(n.x) = (pˆn).x

EE ˝ S(E) (S(E),˝)

E ĕ E

EE EE

EPS(E)

fPS(E) ˝ f´1 (S(E),˝) abc E f,g:EÑE '%f(a) =b f(b) =a @xPEzta,bu,f(x) =x,$ '%g(b) =c g(c) =b @xPEztb,cu,g(x) =x.

ā f˝g‰g˝f

(f˝g)(a) =f(g(a)) =f(a) =b, g˝f)(a) =g(f(a)) =g(b) =c.

Sn (S(E),˝)E=t1,2,3,...,nu Sn n!

S2S2=t,τu ɍ :t1,2u ÝÑ t1,2u

xÞÝÑx τ:t1,2u Ñ t1,2u

τ(1) = 2τ(2) = 1

x˝y x y

S3S3=tE,τ1,2,τ2,3,τ3,1,s,s1u ɍ

:t1,2,3u ÝÑ t1,2,3u xÞÝÑx a,b:t1,2,3u Ñ t1,2,3u τa,b(a) =bτa,b(b) =aτa,b(x) =x s:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s(1) = 2s(2) = 3s(3) = 1 s1:t1,2,3u Ñ t1,2,3u s1(1) = 3s1(2) = 1s1(3) = 2 x˝y x y

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

τ1,2τ1,3τ2,3s s1

1,2

1,2s1s τ2,3τ1,3

1,3

1,3ss1τ1,2τ2,3

2,3

2,3s1sτ1,3τ1,2

s s τ

1,3τ2,3τ1,2s1

s 1 s

1τ2,3τ1,2τ1,3s

(F(A,G),b) ɍA (G,ˆ) b @f,gPF(A,G), fbg:AÝÑG xÞÝÑf(x)ˆg(x) n nPN,ně2 Z "n @x,yPZ,x"nyùñy´xPnZ @xPZ,x"nx x´x= 0PnZ x,yPZ x"ny y´xPnZ x´yPnZ y"nx z´y=nk1ɍk1PZ z´x= (z´y) + (y´x) =n(k1+k)PnZ x"nz x,x1,y,y1PZ x"nx1y"ny1 x´x1PnZy´y1PnZ x´x1+y´y1PnZ @x,yPZ,(˙x= ˙yðñx"y[n]) x,yPZ x"y[n] zP˙x z"x[n] z"y[n]"n zP˙y ˙xĂ˙y ā˙yĂ˙x ˙x= ˙y

Z/nZ n x,yPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y

' Z/nZ (Z/nZ,') a=x´nk ɍk=[x n n

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K

n

ăk+1

k=[y n n n

ă1 k=[y

n ]= 0 y=x+nk=x @x,yPJ0,n´1K,˙x= ˙yùñx=y @x,yPJ0,n´1K,x‰yùñ˙x‰˙y

Z/nZ n ˙a,aPJ0,n´1K Z/nZ

n x y x1 ˙x1= ˙x y1 ˙y1= ˙y x1"nxy1"ny x1+y1"nx+y

Ŕx+y=˙Ŕx1+y1

' Z/nZ ' x,y,zPZ

(˙x'˙y)'˙z=˙Ŕx+y'˙z=˙Ŕ(x+y) +z=˙Ŕx+ (y+z) = ˙x'˙Ŕy+z= ˙x'(˙y'˙z)

Z/nZ ' ˙0 xPZ

˙x'˙0 =˙Őx+ 0 = ˙x=˙Ŕ0 +x=˙0'˙x xPZ y=´xyPZ ˙x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕx+ (´x) =˙0 =˙Ŕ(´x) +x=˙Ŕy+x= ˙y'˙x

Z/nZ '

' x,yPZ x'˙y=˙Ŕx+y=˙Ŕy+x= ˙y'˙x (G,ˆ) H G H (G,ˆ) 1 GPH

H ˆ@x,yPH,xˆyPH

H (G,ˆ) ˆ H (H,ˆ)

R tzPC,zn= 1u 0 nPNnZ Z (G,ˆ) t1GuG G G

σ(A) ā A σ(A)ĂAùñσ(A) =A H

(Sn,˝) PH H ˝ σ(A)ĂAσ1(A)ĂA σ˝σ1(A)ĂA

H σ(A)ĂA σ´1(A)ĂA

σ(A)ĂA σ(A) =A xPA xPσ(A)

(F(R,R),+) tλf,λPRuɍf F(R,R) tfPF(R,R),f(0) = 0u C n(R,R)ɍnPNDn(R,R)ɍnPN T T k k Z/6Z t

1Z/6Z˙5

2˙4t˙0,˙2,˙4u

3t˙0,˙3u

(Z,+)

G Z t0u Z

ně1 G=nZ xPG xnx=nq+r ɍqPZrPJ0,n´1K r=x´nq=xloomoon

PG+(´nq)loomoon

r= 0răn xPnZ Z nZ ɍ nPN (G,ˆ) H G H (G,ˆ) %1 GPH @x,yPH,xy´1PH %1 GPH @x,yPH,xy´1PH

1GPHĘ

x= 1G yPHy´1PH (G,ˆ) G G (Hi)iPI G I H=Ş iPIHi

1GPH @iPI,1GPHi

x,yPH iPIxPHiyPHixy´1PHi xy´1PH

H (G,ˆ)

(G,ˆ) A G A

GA xAy=Ş

HPEH tau xay Z/6Zx˙2y=t˙0,˙2,˙4ux˙3y=t˙0,˙3ux˙5y=Z/6Z ˙5 Z/6Z xt

˙2,˙3uy=Z/6Zt˙2,˙3u Z/6Z

(R,+)x2πy= 2πZ xay=tak,kPZu 1G=a0 k,k

1PZ xy=akak1=ak+k1P tak,kPZu

xquotesdbs_dbs19.pdfusesText_25