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Algèbre M1 Cours 13
Centre de l"algèbre de groupe
14 décembre 2010
Programme
Aujourd"hui,Gdésigne un groupe fini.
Dans un premier temps, on va poursuivre l"étude des caractères sur les corps algébriquement clos de caractéristique nulle. Lebut étant de démontrer que dans ce cas les dimensions des représentations irréductibles divise l"ordre du groupe. On commence pour cela par généraliser la notion d"élément algébrique au cas des anneaux : c"est la notion d"élément entier. La deuxième partie est consacré à la démonstration des résultats de la semaine dernière dans le cas d"un corps de caractéristique finie ne divisant pas l"ordre du groupe. Le point commun entre ces deux parties repose sur l"étude des propriétés du centre de l"algèbre de groupe.
Élément entier
DéfinitionÉlément entier sur un anneau.SoientAetB deux anneaux commutatifs unitaires etρ:A→Bun morphisme d"anneaux (unitaires). On dit queb?Best entier surAs"il existe
P?A[X]
unitairetel queP(b) =0 c"est-à-dire si P= n? i=0aiXi, on a n? i=0ρ(ai)bi=0.
Exemple
Le cas des corps.SiA=ketB=Ksont des
corps, un élément entier deKn"est rien d"autre qu"un élément algébrique deKpuisque le coefficient dominant dePest inversible.
Exemple
Le cas deZZZ.Pour tout entiern, tout élément de
Z/nZest entier surZ:
k?Z/nZest racine deX-k?Z[X] unitaire.
Élément entier surZZZ
ExempleLes éléments deQqui sont entiers surZsont les
éléments deZ.
Tout élément deZest évidemment entier surZ(n?Zest racine deX-n).
Inversement, soitx=p/q?Qavecp,q?Zetp?q=1 et
P=X n+an-1Xn-1+···+a0?Z[X]un polynôme unitaire annulantx. En réduisant au même dénominateur, on obtient p n+an-1pn-1q+···+a0qn=0
Ainsip
n=-q(an-1pn-1+···+a0qn-1) et doncq|p nce qui est absurde sauf siq=±1 et doncx?Z.
Structure des éléments algébriques
PropositionSoientAetBdeux anneaux commutatifs unitaires etρ:A→Bun morphisme d"anneaux. Alors, on a équivalence (i)b?Best entier surA (ii) Il existe un sous-anneauCdeBcontenantbet des éléments c
1,...,cn?Atel que tout élément dec?Cpuisse s"écrire
comme combinaison linéaire
à coefficients dansAdesci(on a
c= n? i=1aici).
Preuve
(i)?(ii).SoitP?A[X]un polynôme unitaire de degrén annulantb. On pose alorsC=A[b] :={Q(b),Q?A[b]}et c i=bipour 0?i?n-1. Il suffit alors de montrer que pour k?n, on ab kest combinaison linéaire à coefficients dansAdebi pour 0?i?n-1. On raisonne par récurrence surk. Pourk=n, le résultat est évident grâce à la relationP(b) =0. À présent sik>n, en multipliant la relationP(b) =0 parb k-n, on obtient quebkest combinaison linéaire à coefficient dansAdeb k-1,...,bk-nqui d"après l"hypothèse de récurrence sont eux mêmes des combinaisons desb ipour 0?i?n-1.
Preuve (suite)
(ii)?(i).Pour touti? {1,...,n}, on peut écrire bc i= n? i=1aijcj. Ce qu"on peut encore écrire matriciellement ?a
1,1-b a1,2···a1,n
a2,1......... .......a n-1,n an,1···an,n-1an,n-b?????? U ?c
1......
c n ?=??????0
0??????
En multipliant à gauche par le transposée de la comatrice deU, on obtient l"égalité det(U)c i=0 pour touti? {1,...,n}. En écrivant 1 B=1C= n? i=1aici, on en déduit que det(U) =0. En développant le déterminant, on obtient un polynôme annulateur debunitaire à coefficients dansA(le polynôme caractéristique de la matrice (a ij)1?i,j?n).
Fermeture intégrale
PropositionSoientAetBdeux anneaux commutatifs unitaires etρ:A→Bun morphisme d"anneaux. L"ensemble des éléments de
Bentiers surAforme un sous-anneau deBappelé la
fermeture intégrale deAdansB Preuve.Soientx,y?Bentiers surA,P?A[X]un polynôme unitaire annulantxde degrémetQ?A[X]un polynôme unitaire annulantyde degrén. On considère le sous-anneauC=A[x,y]={R(x,y),R?A[X,Y]} deB. On va montrer que tout élément deCest combinaison linéaire à coefficients dansAdesx iyjpouri? {1,...,m}et j? {1,...,n}. On aA[x,y] =A[x][y]etyest entier surA[x]. Ainsi, tout élément deA[x,y]s"écrit comme combinaison linéaire à coefficients dans
A[x]de 1,y,...,y
m-1. Comme tout élément deA[x]s"écrit comme combinaison linéaire à coefficients dansAde 1,x,...,x n-1, on obtient le résultat.
Une application
On en déduit quex-y?A[x,y]etxy?A[x,y]sont entiers surA.
Par ailleurs, 1
Best racine du polynôme unitaireX-1A?A[X].
CorollaireUn exemple important.SoitVunG-module de
dimension finie surkalgébriquement clos etχ
Vle caractère
associé. Alors, pour toutg?G,χ
V(g)?kest entier surZ.
Preuve.On est sur un corps algébriquement clos doncρ
V(g)est
trigonalisable etχ
V(g)est la somme des valeurs propres deG
(comptées avec multiplicité). Par ailleurs, on ag |G|=1 et donc les valeurs propres deρ
V(g)sont des racines|G|ede l"unité.
Or une racine|G|
ede l"unité est racine deX|G|-1 et donc entière surk. Ainsiχ V(g)est une somme d"éléments entiers surket donc entier surk.
Morphisme d"anneaux
RemarqueSoientA,BetCtrois anneaux commutatifs unitaires, ρ:A→Bet?:B→Cdeux morphismes d"anneaux sib?Best entier surAalors?(b)?Cest entier surA.
En effet, siP?A[X]annulebalorsPannule?(b).
Centre de l"algèbre de groupe
PropositionCentre.Soitx=?
g?Gλgg?k[G]. Alors x?Zk[G]si et seulement siλ:g?→λ gest une fonction centrale. Preuve.On ax?Zk[G]si et seulement sihx=xhpour tout h?Gsi et seulement sihxh -1=xpour touth?G. Orhxh -1=? g?Gλghgh-1. Commeg?→hgh-1est une bijection de
G, l"égalitéhxh
-1=hdevientλhgh-1=λgpour toutg?G.
Ainsiλ
hgh-1=λgpour tousg,h?Gce qui est précisément dire queλest une fonction centrale.
Notation
Classe de conjugaison.On noteCl"ensemble des
classes de conjugaison deG.
Base du centre
CorollaireBase du centre.Le centreZk[G]dek[G]est un sous-espace vectoriel de dimensionr=|C|dek[G]. Une base deZk[G]est donnée par les fonctions indicatrices 1 11 C=? g?CgoùCparcourent les classes de conjugaison deG. Preuve.D"après la proposition précédente, un élément du centre s"écrit x=?
C?CλC111C
oùλCdésigne la valeur commune deλsur la classe de conjugaison
C. Les fonctions 111
Cforment donc une partie génératrice deZk[G]. Comme les classes de conjugaison forment une partition deG, si? C?CλC111C=0 alorsλC=0 pour toutC(l"élémentgapparaît une seule fois dans la somme avec comme coefficientλ
CoùCdésigne
la classe de conjugaison deg).
Un sous-anneau de type fini
LemmeSiCetC?sont deux classes de conjugaison deG, on peut écrire 1 11
C111C?=?
C???CnC??111C??avecnC???Z
Preuve.CommeZk[G]est un sous-anneau dek[G], on a
1 11
C111C?=?
C???CnC??111C??avecnC???k
Par ailleurs, pourg?C
??,nC??est le coefficient degdans le produit 1 11
C111C?. Mais
1 11
C111C?=??
g?Cg??? g?C?g? g?C,h?C?gh=? g?Gngg oùn gest le nombre de façon d"écriregcomme produit d"un
élément deCpar un élément deC
Un sous-anneau de type fini
CorollaireL"ensemble??
C?CnC111C,nC?Z?
est un sous-anneau deZk[G]. C"est le sous-anneau deZk[G] engendré par les 1 11
CpourC?C.
ApplicationLes éléments 111
Csont des éléments entiers surZde
Zk[G].
ApplicationSoitx=?
g?Gλgg?Zk[G]tel que pour toutg,λg soit entier surZ. Alorsxest un élément entier surZdeZk[G].
En effet, on ax=?
entier surZ.
Applications
PropositionDimension des représentations irréductibles. Soitkun corps algébriquement clos de caractéristique nulle etV une représentation irréductible deG. On a dimV| |G|.
Preuve.Soitx?Zk[G],ρ
V(x)est alors unG-morphisme deV.
CommeVest irréductible,ρ
V(x)est une homothétie (lemme de
Schur). On noteλ(x)le rapport de l"homothétieρ V(x). On définit ainsi un morphisme d"anneaux unitaires
λ:?Zk[G]-→k
x?-→λ(x)
De plus, on aλ(x) =dim(V)
-1tr(ρV(x)) =dim(V)-1χV(x).
On considère alorsx=?
g?GχV(g-1)g?Zk[G]qui est entier surZ.
Commeχ
V(x) =|G|?χV,χV?=|G|dimkEndG(V) =|G|, on
obtientλ(x) =|G|/dimVest entier surZ(puisqueλest un morphisme d"anneau). Finalement|G|/dimV?Qest entier surZ et donc c"est un élément deZ.
GGG-morphismes et algèbre de groupes
PropositionSoitVunG-module surk. Les applications
k-linéaires
Δ:?Hom
G(k[G],V)-→V
f?-→f(1) et?:?V-→Hom
G(k[G],V)
v?-→(x?→xv=ρ
V(x)(v))
sont des bijections réciproques l"une de l"autre. Preuve.Δest évidemmentk-linéaire. Par ailleurs, l"application f v:x?→xvest unG-morphisme. En effet,fvest bienk-linéaire et f v(gx) = (gx)v=g(xv)(carρVest un morphisme d"algèbres).
Ainsi?est bien définie.
Pour finir,Δ?(v) =ρ
V(1)(v) =vpour toutv?Vet, pour
x?k[G],?Δ(f)(x) =ρ
V(x)(f(1)). Mais commefest un
G-morphisme, on aρ
V(x)f(1) =f(x). Ainsi?Δ(f)(x) =f(x)
pour toutx?k[G].
GGG-endomorphisme de l"algèbre de
groupe
PropositionL"application
Δ:?End
G(k[G])-→k[G]
f?-→f(1) est un anti-isomorphisme dek-algèbres. Preuve.On a vu queΔest un isomorphisme dek-espace vectoriels. On calcule alors
Δ(f◦f
La quatrième égalité résulte du fait quefest unG-morphisme.
RemarqueLa bijection réciproque?montre que les
G-endomorphismes dek[G]sont les multiplications à droites par les
éléments dek[G].
Anneau opposé
DéfinitionAnneau opposé.Soit(A,+,·)un anneau unitaire. On définit surAun nouveau produit par noté?par a?b:=b·a. On vérifie que(A,+,?)est encore un anneau unitaire. On le note
Aopet on dit que c"est l"anneau opposé deA.
ExemplePour un anneau commutatif, on aA=A
op.
RemarqueUn anti-morphisme d"anneaux deAdansBest
simplement un morphisme d"anneaux deAdansB opou un morphisme d"anneaux deA opdansB.
Remarque
Algèbre de groupes.L"unique application
k-linéaire qui envoiegsurg -1pour toutg?Gest un isomorphisme d"anneaux entrek[G]etk[G] op.
Remarque
Algèbre de matrices.SoitAun anneau
commutatifunitaire. L"applicationM?→ tMest un isomorphisme d"anneaux entreM n(A)etMn(A)op.
Retour sur la semisimplicité
On suppose à présent quekest un corpsalgébriquement closde caractéristique nulleou decaractéristique première à l"ordre deG. Dans ce cas, on a vu que dans ce cask[G]est unG-module semisimple. De plus, il est de type fini (engendré par 1). On peut donc écrire une décomposition en tant queG-module k[G] =V
1n1? ··· ?Vsns
oùVietVjsont desG-modules simples, non isomorphes sii?=j.
On a alors
k[G] op?EndG(k[G]) =Mn1(EndG(V1))× ··· ×Mns(EndG(Vs)). Mais d"après le lemme de Schur, commekest algébriquement clos, on aEnd
G(Vi) =kid. Ainsi
k[G]?k[G] op?Mn1(k)× ··· ×Mns(k).
CommeZM
n(k) =kidet que le centre d"un produit d"anneaux est le produit des centres, on en déduit quesest le nombre de classes de conjugaison deG.
Retour sur la semisimplicité
En calculant la dimension dek[G], on obtient
|G|= s? i=1nidimVi= s? i=1ni2.
Par ailleurs, on a
V i??HomG(k[G],Vi) = s? j=1HomG(Vj,Vi)nj=EndG(Vi)ni=kni (la dernière égalité résultant du lemme de Schur).
Ainsin
i=dim(Vi)et |G|= s? i=1dimVi2etk[G]
G-mod.?V1dimV1? ··· ?VsdimVs
Enfin, siVest unG-module simple, on obtient par le même calcul que ci-dessus (en remplaçantV iparV)V? s? j=1HomG(Vj,V)nj. En particulier, comme dimV?=0,Vest isomorphe à l"un desV i (lemme de Schur) et il y a donc exactementsclasses d"isomorphisme deG-modules simples. Bilanquotesdbs_dbs9.pdfusesText_15
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