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ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1 Polycopié 2 1 Sous-groupe engendré par un élément 4 2 Produit direct de groupes cycliques, théor`eme chinois

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Chapitre 1 : Groupes Algèbre et géométrie Page 1 sur 16 I Généralités A) Définition Un groupe est un couple ),(∗ G constitué d'un ensemble G et d'une loi 

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7 jan 2013 · Exercice 2 Toute variété algébrique affine est isomorphe à un sous-ensemble algébrique d'un certain kn Exercice 3 Soit f : X → Y un morphisme 

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Finalement nous détaillerons deux groupes importants : le groupe Z/nZ et le groupe des permutations Sn 1 Groupe 1 1 Définition Définition 1 Un groupe ( G,⋆) 

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∀a, b ∈ G, a ∗ b = b ∗ a), alors on dit que G est un groupe commutatif ou abélien Les exemples 1) ci-dessus sont des groupes abéliens, mais Sn n'est pas  

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Il existe au moins un sous-groupe de (G, ∗) contenant A à savoir G lui-même Soit alors H l'intersection de tous les sous-groupes de G contenant la partie A H est 

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On a par exemple Spin(3) ≃ SU(2) Groupes linéaires Le groupe SLn(C) est simplement connexe et le déterminant fournit π1(GLn(C)) ≃ π1 

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Aujourd'hui, G désigne un groupe fini Dans un premier temps, on va poursuivre l' étude des caractères sur les corps algébriquement clos de caractéristique 

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Algebre 1 Chapitre I : Groupes La structure de groupe est simple (une loi 3 axiome), mais est un groupe abéliens d'ordre n pour la multiplication complexe

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ALGÈBRE GÉNÉRALE

JEAN-PAUL CALVIRéférences

[1] Burn, R.P.Groups, a path to geometry, Cambridge university press, Cambridge, 1985.
[2] Kargapolov, M. et Merzliakov I.Eléments de la théorie des groupes, Mir, Moscou, 1985.
[3] Kostrikin, A.Introduction à l"algèbre, Mir, Moscou, 1981.

[4] Kurosh, A.Cours d"algèbre supérieure, Mir, Moscou, 1973.1.Introduction à la théorie des groupes

§1.La structure de groupe.

1.1.Lois internes.

1.2.Associativité, commutativité.Exemple de loi non associative, non com-

mutative.

1.3.À quoi sert l"associativité? la commutativité?

Théorème 1.1.Lorsque la loi?surEestassociative, on peut écrire les produits sans qu"il soit nécessaire de placer les parenthèses (autrement dit le résultat ne dépend pas de la manière dont sont placées les parenthèses).

En particulier, poura?Eetn?N?, on peut définir

a n=defa?a? ··· ?a???? nfois et on a les relations?an?am=an+m(n,m?N?) (an)m=anm(n,m?N?)Date: 22 mars 2005. Merci de signaler les erreurs et les imprécisions en écrivant àcalvi@picard.ups- tlse.fr. 1

2jean-paul calvi

Enfin, si, en plus d"être associative, la loi?est aussicommutativeon peut permuter les éléments dea1?a2?···?ande manière arbitraire sans modifier le résultat.

1.4.Elément neutre pour une loi interne.Soit?une loi interne sur un

ensemble (non vide)E. On dit qu"un élémente?Eestélément neutre (pour?) si ?a?E a?e=e?a=a. Par exemple0est élément neutre de l"addition dansN. Théorème 1.2.Une loi interne admet au plus un élément neutre.

1.5.Définition d"un groupe.Un ensembleGmuni d"une loi interne?est

appelé groupe si (i) La loi?est associative et admet un élément neutre, notée- ou, s"il faut préciser,eG. (ii) Pour toutg?G, il existe un élémenty?G, appeléélément symétriquedegtel que g?y=y?g=e. On parle alors dugroupe(G,?)ou - lorsqu"il n"y a pas d"ambiguïté sur la loi?- simplement du groupeG. Lorsque la loi?est commutative on dit que(G,?)est ungroupe commutatifou encore ungroupe abélien. LorsqueGcontient un nombre infini d"éléments, on dit queGest infini. Dans le cas contraire, on dit queGest fini. Lecardinal(c"est-à-dire le nombre d"éléments) d"un groupeG, appeléordre, est notécard(G)ou o(G)ou|G|.

1.6.L"élément symétrique.

Théorème 1.3.Dans un groupe tout élément admet toujours ununique

élément symétrique.

L"unique élément symétrique degest notég-1. On a (i)e-1=e. L"élément neutre est son propre symétrique. (ii)(g-1)-1=g. (iii)(g?g?)-1=g?-1?g-1. Le symétrique d"un produit est le produit inversedes symétriques. (iv) Plus généralement(g1?g2? ··· ?gn)-1=g-1n?g-1n-1?...g-11. En particulier on a(gn)-1= (g-1)n(n?N?). On note alors g -n=def(gn)-1 ce qui permet de définirgmpourm?Zen convenantg0=e. Dans ces conditions on a les relations. (gm)m?=gmm?etgm?gm?=gm+m?(m,m??Z). [Th. 1.3]Algèbre générale3

1.7.Sept exemples de groupes.

a)(U,.). C"est l"ensemble des nombres complexes de module1muni de lamultiplication des nombres complexes. L"élément neutre est1. C"est un groupe abélien infini. b)(Z,+). L"ensemble des entiers relatifs muni del"addition (habituelle). L"élément neutre est0, le symétrique d"un élément est son opposé. C"est un groupe abélien infini. c)(Un,.)oùn?N?. L"ensemble des racinesn-ième de l"unité (dansC). L"élément neutre est1. C"est un groupe abélien fini. Il contientnéléments. d)(GLn(K),.). L"ensemble des matrices inversibles ànlignes etnco- lonnes à coefficients dansK=C,RouQ, muni de la multiplication des matrices. L"élément neutre est la matrice identité. L"élément symétrique est la matrice inverse. C"est un groupe non abélien (dès quen >1) infini. e)(S(Ω),◦).Ωest un ensemble quelconque non vide etS(Ω)est l"en- semble des bijections deΩsurΩmuni dela composition des fonctions. L"élément neutre est l"application identité, le symétrique est la bijection réciproque. C"est un groupe infini lorsqueΩest infini et il a pour cardinal n!lorsqueΩest formé denéléments. Il est non abélien dès quecard(Ω)>2. Ce groupe est étudié en détail par la suite. f)(Is(P),◦). L"ensemble des isométries affines du plan euclidienPmuni de la composition des fonctions. C"est un groupe infini non abélien conte- nant en particulier les translations, les rotations, les réflexions (symétries orthogonales). g)Produit de 2 groupesSoient(G1,?1)et(G2,?2)deux groupes. On définit une loi?3sur(G1×G2)par la relation suivante: (g1,g2)?3(g?1,g?2) = (g1?1g?1,g2?2g?2). Alors(G1×G2,?3)est un groupe, appelé le produit (ou produit direct) de(G1,?1)par(G2,?2). Lorsque(G1,?1) = (G2,?2)on parle du groupeG2 et on garde pour la loi deG2la même notation que pour la loi deG. On peut plus généralement former le produit dengroupes et lorsque tous les groupes coïncident on obtientGn.

1.8.Notation additive, notation multiplicative.

§2.Sous-Groupes.

2.1.Définition et notations.Soient(G,?)un groupe etHun sous-ensemble

non videde G. On dit queHest un sous-groupe deGsi (i) Pour tousx,y?Hon ax?y?H (ii) Pour toutx?H,x-1?H

4jean-paul calvi

(Cela signifie que la restriction de?àH×Hdonne une loi interne deH et que(H,?)est alors lui-même un groupe.) Les deux conditions ci-dessus peuvent être remplacées par (iii) Pour tousx,y?Hon ax?y-1?H La notationH < Gest employée pour direHest sous-groupe deG.

2.2.Six exemples de sous-groupes.

a)Z2.3.Intersections de sous-groupes. Théorème 1.4.Soient(G,?)un groupe etFune famille non vide de sous- groupes deG(Fpeut contenir un nombre fini ou infini de sous-groupes). SiIest l"intersection de tous les éléments deF, autrement ditI=∩H?FH alorsIest lui-même un sous-groupe deG.

2.4.Sous-groupe engendré par une partie.Soit(G,?)un groupe etAun

sous-ensemblenon videdeG. On appelle sous-groupe engendré parAle sous-groupe ?A?=∩H?SH oùSest l"ensemble de tous les sous-groupes deGqui contiennentA. Cet ensemble n"est pas vide car il contientGlui-même et la formule ci-dessus est par conséquent bien définie. Théorème 1.5.Le sous-groupe?A?est le plus petit sous-groupe deG contenantA. Autrement dit,?A?est caractérisé par les deux conditions suivantes (i)?A?est un sous-groupe deGcontenantA. (ii)SiHest un autre sous-groupe deGcontenantAon a?A? ?H

2.5.Description des éléments d"un sous-groupe engendré.

Théorème 1.6.Soient(G,?)un groupe,Aun sous-ensemble non vide de Getx? ?A?. Il existen?N?et des élémentsy1,y2,...,ynavecyi?Aou y -1 i?Apouri= 1,2,...ntels quex=y1?y2? ··· ?yn. Pour bien des questions, on considère qu"on a déjà acquis une bonne connaissance du groupeGsi on a pu exhiber un ensemble générateurle [Th. 1.9]Algèbre générale5 plus petit possiblecar on peut alors décrire par la formule assez simple ci-dessus tous les éléments du groupe.

2.6.Groupes cycliques, ordre d"un élément.On dit qu"un groupe(G,?)est

cyclique s"il est engendré par un ensemble réduit à un seul élément i.e.

G=?{a}?. On note aussi pour simplifierG=?a?.

Théorème 1.7.Soit(G,?)un groupe cyclique engendré para?G. Il y a deux possibilités.Ou bienaest d"ordre finid?N?et on aG={ai,i=

0,1,...d-1}ou bienan"est pas d"ordre fini (on dit alors qu"il est d"ordre

infini) etG={am,m?Z}. Dans chaque cas les éléments des ensembles indiqués sont deux à deux distincts. On remarquera que l"ordre d"un élément est égal au cardinal du groupe qu"il engendre. Les groupes cycliques sont tous abéliens 1.

2.7.Quatre exemples de sous-groupes engendrés.

a)?m?=mZ. b)?m,n?=pgcd(m,n)Z. c)Un=?exp(2iπ/n)?. d) On démontre en géométrie que toute isométrie du plan s"écrit comme la composée d"au plustroisréflexions (symétries orthogonales) on a donc

Is(p) =?sD:Ddroite du plan?.

§3.Morphismes.

3.1.Definition.Soit(G,?)et(G?,◦)deux groupes et?une application de

GdansG?:?:G→G?. On dit que?est unmorphisme de groupe(ou simplement unmorphisme) lorsqu"elle vérifie (1)?(a?b) =?(a)◦?(b) (a,b?G)

Terminologie...

(i) Les morphismes sont aussi appeléshomomorphismes. (ii) Lorsque le groupe de départ et le groupe d"arrivée sont les mêmes on parle d"endomorphisme. (iii) Un morphisme bijectif est unisomorphisme. (iv) Un isomorphisme deGdans lui-même s"appelle unautomor- phisme. Si?:G→G?est un isomorphisme alors l"application réciproque?-1: G ?→G(qui existe puisque?est bijective) est un isomorphisme. Théorème 1.8.L"image de l"élément neutre du groupe de départ par un

morphisme est l"élément neutre du groupe d"arrivée.[?(eG) =eG?].1. Beaucoup d"auteurs appellentgroupe monogènece que nous avons appelé

groupe cyclique infini et garde la dénomination de cyclique au seuls groupes finis.

6jean-paul calvi

Théorème 1.9.Par un morphisme l"image du symétrique d"un élément est le symétrique de l"image de cet élément.[?(g-1) = [?(g)]-1.] Théorème 1.10.Soient?un morphisme deGdansG?etHun sous- groupe deGalors?(H)est un sous-groupe deG?. En particulier?(G)est

3.2.Morphismes et image des sous-groupes.

Théorème 1.11.Soient?un morphisme deGdansG?etHun sous- groupe deGalors?(H)est un sous-groupe deG?. En particulier?(G)est Rappelons que?(H)def={?(h) :h?H}et s"appelle l"imagedeHpar

3.3.Le noyau.Soit?un morphisme de(G,?)dans(G?,◦). On appelle

noyaude?et on noteker?l"ensemble (2)ker?=def{g?G:?(g) =eG?} Théorème 1.12.Le noyau d"un morphisme est un sous-groupe du groupe Théorème 1.13.Pour qu"un morphisme soit injectif il faut et il suffit que son noyau se réduise à l"élément neutre.[?:Gmorph.-→G?injective ?ker?={eG}.] Corollaire.SoientGetG?deux groupes finis demême cardinalet?un morphisme deGdansG?. Pour que?soit un isomorphisme il faut et il suffit queker?soit réduit à l"élément neutre.

3.4.Cinq exemples de morphismes.

a) exp : (R,+)-→(R?+,.) x?-→expx. b) exp : (R,+)-→(U,.) x?-→expix. c) det :

GLn(K)-→(K?,.)

A?-→detA

d) Soit(G,.)un groupe etx?G. L"application x:(G,.)-→(G,.) g?-→x-1gx. [Th. 1.16]Algèbre générale7 est un automorphisme. Les automorphismes construits de cette manière s"appellent desautomorphismes intérieurs. L"ensemble des automor- phismes intérieurs, notéInt(G), forme lui-même un groupe lorsqu"on le munit de la loi de composition des applications. e) Soit(G,?)un groupe quelconque etg?G. L"application suivante est un morphisme de groupe. p g:(Z,+)-→(G,?) m?-→gm. §4.Relation d"équivalence définie par un sous-groupe.

4.1.Définition.Soient(G,?)un groupe etHun sous-groupe deG. On

définit la relation?HsurGpar x?Hydef??x-1?y?H. Théorème 1.14.La relation?Hest une relation d"équivalence surG. Rappelons que la classe d"équivalence dex?G, notéecl(x)ouxoux est l"ensemble des éléments deGqui sont en relation avecx cl(x) ={g?G:x?Hg}. L"ensemble de toutes les classes d"équivalence est notéG/Het est appelé le quotientdeGparH. Lorsquey?cl(x), on dit queyest unreprésentant decl(x). On a toujours quexest un représentant decl(x)mais, en général, cl(x)admet beaucoup d"autres représentants.

4.2.Description des classes d"équivalence (à gauche).Dans la relation?H

définie ci-dessus on a cl(x) =x?H oùx?H={x?h:h?H}.

4.3.Le théorème de Lagrange.

Théorème 1.15.Soit(G,?)un groupe fini etHun sous-groupe deG. Le cardinal deHdivise le cardinal deGautrement dito(H)|o(G). Corollaire(de la démonstration).Sous les mêmes hypothèses, on a plus précisément card(G) = card(G/H)×card(H) Corollaire.Dans un groupe fini, l"ordre de tout élément divise l"ordre du groupe.[?x?G,o(x)|o(G)]

4.4.Application à la caractérisation des groupes d"ordre premier.

Théorème 1.16.Tout groupe d"ordre premierp >1est cyclique et il est engendré par n"importe lequel de ses éléments différents du neutre.[?x?

G/{e}, G=?x?]

8jean-paul calvi

§5.Groupes quotients.

5.1.Sous-groupes distingués.Soit(G,?)un groupe etHun sous-groupe

deG. On dit queHestdistinguédansG(ounormaldansG, ou encore invariant) s"il vérifie la propriété suivante (3)?x?G x-1?H?x?H, c"est-à-dire ?x?G,?h?H x-1?h?x?H. En réalité la condition (3) est équivalente à (4)?x?G x-1?H?x=H, qui est en apparence plus forte. La notationH ? Gsignifie queHest un sous-groupe distingué deG. Lorsqu"on n"exclut pas queHsoit égal àGon écritH?G

5.2.Trois exemples de sous-groupes distingués.

a) Si(G,?)est abélien alors n"importe lequel de ses sous-groupes est distingué dansG. b) Si?est un morphisme de(G,?)dans(T,◦)alorsker?est un sous- groupe distingué deG. [ker??G.] c) SoitH={λId:λ?R?}oùIdest la matrice identité dansGLn(R).

On aH?GLn(R).

5.3.Compatibilité de?Havec la loi deGlorsqueH?G.Soit(G,?)un

groupe etH?G. La relation d"équivalence?Hdéfinie par le sous-groupe distinguéHa la propriété remarquable d"êtrecompatibleavec la loi?.

Cela signifie que, pourg1,g2,r1,r2?G,

g 1?Hg2 r

1?Hr2?

?g1?r1?Hg2?r2.

5.4.Opération sur l"ensemble des classes. Groupe quotient. Projection ca-

nonique.Soit(G,?)un groupe etHun sous-groupe distingué deG. On rappelle queG/Hdésigne l"ensemble des classes d"équivalence de?H. On peut définir une loi?surG/Hcomme suit (5)?:G/H×G/H-→G/H (C1,C2)?-→cl?n"importe quel représentant deC1?n"importe quel représentant deC2? Théorème 1.17.Soit(G,?)un groupe etH?G,(G/H,?)est un groupe. [Th. 1.21]Algèbre générale9 Théorème 1.18.Soit(G,?)un groupe etH?G. L"applicationsdéfinie par s:(G,?)-→(G/H,?) x?-→cl(x). est un morphisme de groupe. Il est surjectif. Son noyau est égal àH. Le morphismess"appelle lasurjection(ouprojection)canoniquede

GsurG/H. On note parfoiss=sH.

5.5.Le groupeZ/nZ.Définition. Propriétés élémentaires.

Théorème 1.19.Soitn >1eta?N. Pour quea=cl(a)engendreZ/nZ (i.e.Z/nZ=?a?) il faut et il suffit queaetnsoient premiers entre eux.

5.6.Théorème d"isomorphisme.

Théorème 1.20.SoientG1etG2deux groupes etφun homomorphisme deG1dansG2. Il existe unisomorphismeνdeG1/kerφsurφ(G1)tel que φ=ν◦soùsest la surjection canonique deG1surG1/kerφ. On a donc G

1/kerφ?φ(G1).

G 1? morph.

φφ(G1)?G2?

G

1/kerφsurj.

cano.s

νisom.

Fig. 1.Schéma du théorème d"isomorphisme?=s◦ν

5.7.Trois exemples d"application du théorème d"isomorphisme.

a)R/2πZ?U. b)GLn(K)/SLn(K)?K?. c) Tout groupe cyclique fini d"ordrenest isomorphe àZ/nZ.

§6.Le groupe symétrique.

10jean-paul calvi

6.1.Définitions.SoitΩ ={1,2,...,n}. Une bijection deΩsurΩs"appelle

unepermutation. L"ensemble des permutations deΩest notéSn. un élémentfdeSnest souvent représenté sous la forme d"un tableau à2 lignes etncolonnes: f=?1 2 3... n i

1i2i3... n?

où la seconde ligne donne les images des éléments correspondant sur la première ligne. On munitSnde la loi de composition des applications que l"on note cependant ici par un point (·) plutôt que par◦. Théorème 1.21.(Sn,·)est un groupe (non commutatif dès quen >2) d"ordren!. (Sn,·)s"appelle le (n-ième)groupe symétrique.

6.2.Cycles.Soitf?Sn. S"il existek? {2,...n}eta1,a2,...,akdansΩ

tels que?? ?f(ai) =ai+1i= 1,...,k-1 f(ak) =a1 f(b) =b b?? {a1,...,ak}, autrement dit, sifest de la forme?Ida 1 a 2Ida 2 a

3Id...Ida

k-1 a kIda k a 1? alors on dit quefest uncycle, ou, plus précisément unk-cycleet on note f= (a1a2...ak). Les2-cycles sont appeléstranspositions. L"ensemble{a1,...,ak}s"appelle lesupportdu cyclef. Théorème 1.22.Si deux cycles ont des supports disjoints alors ils com- mutent. De manière précise, si{a1,...,ak} ∩ {b1,...,br}=∅alors (a1a2... ak)·(b1b2... br) = (b1b2... br)·(a1a2... ak). Théorème 1.23.Sifest unk-cycle alorsfest d"ordrek(c-a-dfk=Id etfk-1?=Id.) Théorème 1.24.Toute permutation se décompose en un produit de cycles. Cette décomposition est unique à l"ordre près des facteurs.

On a les propriétés suivantes:

(a1a2a3... ak) = (a1a2)·(a2a3)...(ak-1ak) (a1a2) = (1a1)·(1a2)·(1a1). [Th. 2.1]Algèbre générale11

6.3.Signature.Soitf?Sn. On définit?(f)par la relation

?(f) =? Quelle que soitf, on a toujours?(f)? {-1,1}. le nombre?(f)s"appelle la signaturedef.

Théorème 1.25.Sif= (1k)alors?(f) =-1.

Théorème 1.26.L"application?: (Sn,·)→({-1,1},·)est un morphisme de groupe. Autrement dit, quelles que soientfetgdansSnon a ?(f·g) =?(f)·?(g). Corollaire.La signature d"une transposition quelconque est égale à-1 Corollaire.La signature d"un cycle de longueurkest égale à(-1)k-1. Corollaire.L"ensembleAn:={f?Sn:?(f) = 1}est un sous-groupe distingué deSn. On l"appelle len-ièmegroupe alterné.2.Introduction aux anneaux et corps

§1.La structure d"anneau.

1.1.Définitions.Un ensemble non videAmuni de deux lois internes -

que l"on notera toujours, pour simplifier,+et·- est unanneausi (i)(A,+)est un groupe commutatif, (ii) la loi·est associative et elle estdistributivepar rapport à la loi +, c-a-d ?x,y,z?A?x·(y+z) = (x·y) + (x·z) (y+z).x= (y·x) + (z·x). On parle alors de l"anneau(A,+,·). La loi+est appeléel"additiondeA et la loi.est appelée le produit (oula multiplication) deA. L"élément neutre de(A,+)est toujours noté0- ou, s"il faut être précis,0A- et le symétrique dex?Apour la loi+est noté-x. On rappelle que la notation y-xsignifiey+ (-x).

Théorème 2.1.Soit(A,+,·)un anneau.

(i)?a?A,a·0 = 0 = 0·a. (On dit parfois que le neutre de la loi+ est un élémentabsorbant.) (ii)?a,b?A,(-a)·b=a·(-b) =-(ab).

1.2.Différents types d"anneaux.Anneaux commutatifs, anneaux unitaires,

anneaux intègres.

12jean-paul calvi

1.3.Sous-anneaux.Soit(A,+,·)un anneau etBun sous-ensemble non

vide deA,Best unsous-anneaudeAsi (i)?a,b?B,a-b?B (ii)?a,b?B,a·b?B.

1.4.Trois exemples d"anneaux.

a)(Z,+,·)est un anneau commutatif, unitaire et intègre. b)(Mn(K),+,·)(K=Q,R,C) est un anneau unitaire non commutatif et non intègre. c) SoientIun intervalle deRetF(I)l"ensemble des fonctions définies surIà valeurs réelles alors(F(I),+,·))est un anneau commutatif unitaire non intègre. (Ici les lois+et·sont l"addition et le produit habituel des fonc- tions.) L"ensembleC(I)des fonctions continues surIest un sous-anneau deF(I).

1.5.Morphismes d"anneaux.Soient(A,+,·)et(B,+,·)deux anneaux etf

une application deAdansB. On dit quefest unmorphisme d"anneau si (i)?a,a??A f(a+a?) =f(a) +f(a?), (ii)?a,a??A f(a·a?) =f(a)·f(a?), Attention, lorsqueAetBsontunitaires, on rajoute la condition (iii)f(1A) = 1B, Pour qu"un morphisme d"anneau soit injectif, il faut et il suffit que son noyau soit réduit au neutre0A. §2.Elements inversibles d"un anneau unitaire. Corps.

2.1.Le groupe des éléments inversibles.Soit(A,+,·)un anneau unitaire.

Un élémentsa?Aest dit inversible s"il existeb?Atel que a·b=b·a= 1. Cet élémentb, s"il existe, est unique. On le notea-1. Il y a toujours au moins un élément inversible, le neutre1lui-même, pour lequel1-1= 1. On noteA?l"ensemble des éléments inversibles de l"anneauA. Naturellement, puisque(a-1)-1=a, sia?A?alorsa-1?A?. Théorème 2.2.L"ensembleA?des éléments inversibles d"un anneau uni- taire(A,+,·)est un groupe lorsqu"on le munit de la loi·.

2.2.Définition d"un corps.Un anneau unitaire(F,+,·)tel que1F?= 0F

pour lequelF?=F/{0F}s"appelle uncorps.

Une partie non videLdeFest unsous-corpsdeFsi

(i)?x,y?L,x-y?F (ii)?x,y?L/{0},x·y-1?F [Th. 2.6]Algèbre générale13

Isomorphismes de corps...

Dans uncorps commutatifon écrit souventab

à la place dea.b-1. On a

alors les règles de calcul suivantes: (i) ab .cd =a.bb.d (ii) ab +cd =ad+bcbd

2.3.Exemples de corps.

§3.L"anneauZ/nZ.

3.1.Construction.Définition du produit surZ/nZ.

Théorème 2.3.Quel que soitn?N,n≥2,(Z/nZ,+,·)est un anneau commutatif unitaire.

3.2.Le cas premier.

Théorème 2.4.Quel que soitp?N,ppremier,(Z/pZ,+,·)est un corps commutatif.

3.3.Application à l"arithmétique.

Théorème 2.5(Petit théorème de Fermat).Soientppremier eta?Ztel quep? |a. On a toujours a p-1≡1 [p]. Autrement ditpdivise toujoursap-1-1dès lors qu"il ne divise pasp. §4.Idéaux d"un anneau commutatif. Anneaux quotient.

4.1.Définition.

4.2.Exemple: idéaux principaux.

Théorème 2.6.(Z,+,·)est un anneau principal.

4.3.Exemple: noyau des morphismes.

4.4.Anneaux quotients.Soit(A,+,·)un anneau commutatif etIun idéal

deA. Puisque, en particulier,Iest un sous-groupe de(A,+), on peut former le groupe quotientA/I(il faut queIsoit un sous-groupe distingué mais puisque(A,+)est commutatif, tous ses sous-groupes sont distingués). Les éléments deA/Isont de la formeC=cl(a) =a+I={a+h:h?I}et la loi+(précédemment notée+) surA/Ivérifie cl(a) +cl(b) =cl(a+b) et plus généralement C

1+C2=cl?n"importe quel

représentant deC1+n"importe quel représentant deC2? loi+dansA/Iloi+dans A

14jean-paul calvi

Nous allons voir que grâce au fait queIest un idéal, on peut aussi définir un produit surA/Icomme suit

·:A/I×A/I-→A/I

(C1,C2)?-→cl?n"importe quel représentant deC1·n"importe quel représentant deC2? Théorème 2.7.Soit(A,+,·)un anneau commutatif etIun idéal deA alors(A/I,+,·)où+et·sont définies comme ci-dessus est un anneau commutatif. SiAest unitaire alorsA/Iest aussi unitaire et on a1A/I= cl(1A). Théorème 2.8.Soient(A,+,·)et(B,+,·)deux anneaux commutatifs et f:A→Bun morphisme d"anneaux. Il existe un (unique) isomorphisme γ:A/kerf→f(A)tel quef=γ◦soùsest la surjection canonique dequotesdbs_dbs19.pdfusesText_25