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[PDF] Chapitre 14 :Autoinduction, induction mutuelle
Chapitre 14 : Autoinduction, induction mutuelle Electromagnétisme Page 1 sur 11 I Autoinduction A) Flux propre On a ∫∫ ⋅ = Sd B C C propre propre φ
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Induction électromagnétique Chapitre IV : Inductance propre, inductance mutuelle Energie électromagnétique Objectifs: • Coefficients d'inductance propre L et
[PDF] Induction électromagnétique - Olivier GRANIER
On considère le phénomène d'induction le long d'un circuit fermé (C) fixe M est appelé coefficient d'inductance mutuelle entre les deux circuits (C1) et (C2)
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L'interaction entre les deux bobinages introduit un terme d'induction mutuelle, de coefficient M Les phénomènes inductifs amènent des tensions u1 et u2 aux
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Couplage par induction mutuelle Equations du circuit On considère deux circuit R, L, C série couplés par induction mutuelle Les deux inductances sont
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Li2 2 Induction entre deux circuits 2 1 Inductance mutuelle On considère deux circuits C1 et C2 fermés et filiformes parcourus respectivement par des courants
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Il y a donc auto-induction : la spire parcourue par le courant crée un champ magnétique qui crée un L'inductance mutuelle M entre deux circuits est définie par
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1 2 Coefficient d'induction mutuelle : soient deux circuits parcourus par des cou- rants I1 et I2, placés de façon telle qu'une par- tie seulement des lignes du
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Electricit´e et magn´etisme - TD n◦10
Induction
1.Inductance mutuelle - transformateurOn consid`ere un sol´eno¨ıde de section circulaire, de rayonR
1, de longueurl1, et constitu´e deN1
spires. A l"int´erieur de celui-ci, on place un deuxi`eme sol´eno¨ıde de rayonR2, de longueurl2, et
constitu´e deN2spires.
R1R2 l2 l1 Figure1 - Inductance mutuelle de deux sol´eno¨ıdes. (a) Calculer l"inductance mutuelle,M, entre les deux sol´enoides en utilisant l"approximation de sol´eno¨ıdes infinis. Dans l"approximation de sol´eno¨ıdes infinis, on obtient les champs-→B1et-→B2respectivement
B1=?zμ0n1I1=?zμ0N1
l1I1(1) B2=?zμ0n2I2=?zμ0N2
l2I2(2) En ´ecrivant le flux `a travers le circuit Φ1, l"inductance propre du circuit et l"inductance
mutuelle relie les courants dans les deux circuits au flux :1=L1I1+M12I2(3)
De mˆeme, le flux dans le circuit 2 s"´ecrit :2=L2I2+M21I1(4)
Afin de d´eterminer l"inductance propre, on traite chacune des Bobine d"abord de fa¸con ind´ependante. Traitons d"abord la bobine 1 toute seule en prenantI2= 0. En utilisant la valeur du champ
magn´etique trouv´e en l"´eq.(1), nous obtenons que le flux magn´etique `a travers chacune des
N1spires de cette bobine est ´egale `a :
1,spire=??
S -→B1·?ndS=μ0N1
l1πR21I1Le flux total `a travers la bobine est donc :
1=N1Φ1,spire=μ0N21
l1πR21I1 En comparant ceci avec l"expression de l"´eq.(3) (avecI2= 0), on d´eduit l"expression de l"inductance propre de la bobine 1 : L1=μ0πR21N21
l1 1 Reprenant les mˆemes consid´erations avec maintenantI1= 0, on obtient de mˆeme l"induc- tance propre de la bobine 2 : L2=μ0πR22N22
l2Il n"est loin ´evident au premier regard, mais on peut d´emontrer que les inductances mutuelles
sont toujours ´egales : M12=M21≡M
Les ´equations d"inductance de (3) et (4) s"´ecrivent donc :1=L1I1+MI2
Φ2=L1I2+MI1
Maintenant on peut s"attaquer `a l"inductance mutuelle. Iln"est pas ´evident comment d´eterminer le flux `a travers le circuit 1 `a produit par un courant dans le circuit 2. Par contre, on peut facilement d´eterminer le flux `a travers circuit 2 cr´e´e par un courantI 1dans le circuit , Φ1→2:
1→2=πN2R22???-→B
10πR22N1N2
l1I1≡M21I1 donc on peut conclure que l"inductance mutuelle est : M21=M=μ0πR22N1N2
l1On n"aurait pas pu facilement d´eterminer le flux `a travers le circuit 1 cr´e´e par un courant
I2dans le circuit 2, mais peu importe puisque nous savons de mani`ere g´en´erale queM12=
M 21=M.(b) ExprimerMdans le cas o`ul
2→l1etR2→R1, mais avecN1?=N2.
M→μ
0πR21N1N2
l1(c) On se rappelle que dans la mesure o`u les r´esistances desfils sont n´egligeables, les tensions
aux bornes des sol´eno¨ıdes s"expriment (dans la convention r´ecepteur) : U1(t) =L1dI1(t)
dt+MdI 2(t) dt U2(t) =L2dI2(t)
dt+MdI 1(t) dt En prenant le cas ´etudi´e en b), calculer le rapportU2(t)/U1(t) en fonction deN1etN2.
Voyez-vous une application int´eressante?
U1(t) =μ0πR21N21
l1 dI1(t) dt+μ0πR21N1N2 l1 dI2(t) dt0πR21
l1 N21dI1(t)
dt+N1N2dI2(t) dt? =N1μ0πR21
l1 N1dI1(t)
dt+N2dI2(t) dt? U2(t) =μ0πR21N22
l1 dI2(t) dt+μ0πR21N1N2 l1 dI1(t) dt0πR21
l1 N22dI2(t)
dt+N1N2dI1(t) dt? =N2μ0πR21
l1 N1dI1(t)
dt+N2dI2(t) dt? (5) 2On obtient donc :U
2(t)U1(t)=N
2 N12. Consid´erer un champ magn´etique-→Buniforme et constant (dans le temps). Trouver un potentiel
vecteur-→Adont le champ magn´etique d´erive,-→B=-→rot-→A. Votre solution, est-elle unique?
On prend les axes telle que-→B=B?z
rot -→A=-→? ?-→A=??????? u x?uy?uz∂ ∂x∂∂y∂∂zAxAyAz
?=?x?∂A z ∂y-∂A y ∂z? ?y?∂A x ∂z-∂A z ∂x? ?z?∂A y ∂x-∂A x ∂y? =B?z ∂A z ∂y=∂A y ∂z∂A x ∂z=∂A z ∂x∂A y ∂x-∂A x ∂y=BA cause de l"invariance enz, on a
∂A y ∂z= 0?∂A z ∂y= 0 et que∂A x ∂z= 0?∂A z ∂x= 0 impliquant queA zest constant A z=C1Si on prend∂A
y ∂x=Bet∂A x ∂y= 0 une solution possible est donc A y(x) =Bx+C2Ax(x) =C3 avecC2etC3comme constants d"int´egration. PuisqueC1,C2etC3sont tous arbitraire, il est claire que le potentiel vecteur n"est pas unique. On a donc ledroit de simplfier notre solution en prenantC1=C2=C3= 0 afin que notre choix pour-→A, d´esormais not´e-→A1s"´ecrit :
-→A1= (0,Bx,0) (6)
La nature arbitraire de
-→Ane s"arr`ete pas la. On peut ´egalement v´erifier que -→A2= (-By,0,0) (7)
est une toute aussi bonne choix pour le potentiel vecteur. Mˆeme la condition impos´ee par la gauge de Coulomb ne suffit pas afin d"imposer un choix par rapport `a l"autre puisque div -→A1= div-→A2= 0 (8)
pour les deux choix.Encore une autre choix est
-→A 3=1 2 ?-→A1+-→A2
, donc A3=B2(-y,x,0) =Bρ2(-sinφ,cosφ,0) =Bρ2?φ(9)
o`u nous sommes pass´e en coordonn´ees cylindriques. Cettederni`ere choix de-→A3(ρ) =Bρ
2?φest
plus sym´etrique que-→A1et-→A2, et on le pr´ef`ere en g´en´erale, mais ils sont tous les trois des formes
pour-→Aacceptables. 3 w Figure2 -Bobine rectangulaire dans un champ magn´etique3.G´en´erateur - Cadre tournantUne bobine plate, rectangulaire, et ind´eformable, de cˆot´esa= 20cm,b= 10cm, est constitu´ee
d"un conducteur cylindrique de diam`etred= 1mm, et de r´esistivit´eρ= 1,6.10 -8Ω.m. Elletourne avec une fr´equence de 600 tours par minute autour d"un axe vertical situ´e dans le plan de
la bobine. La bobine est plac´ee dans un champ magn´etique d"intensit´eB= 1T, perpendiculaire
`a l"axe de rotation (figure 2). (a) Quelle est l"expression du courant circulant dans la bobine? On calculera sa valeur efficace. On d´efinit l"axezcomme l"axe de rotation de la bobine. On d´efini un tempst= 0 tel que la direction ?nnormale au circuit tourne comme n(t) =?xcosωt+?ysinωt d dt?n(t) =-?xωsinωt+?yωcosωtL"axe de
-→B=-→ctedoit ˆetre perpendiculaire `a celle dez. On choisit l"orientation de l"axe?x tel que-→B=B?x. Le flux de du cadre soit donn´e par Φ(t) =-→B??n(t)S=-→B??n(t)ab=B?x??n(t)ab Le rayon de la bobine estR= 5cm = 0,05m. La fr´equence est de 600 tours/minute =10tours/seconde donc une fr´equence angulaire deω= 10×2πradians s
-1. Pour une bobine en mouvement dans un champ-→Bconstant les forces de Laplace sur lescharges libre induit un champ´electrique `a l"int´erieur du conducteur dites force´electromotrice
Edont la valeur est donn´e par le "r`egle du flux" i.e. que la force ´electromotrice du circuit
est ´egale `a- ∂to`u Φ est le flux `a travers le circuit :