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Si la réalisation de filtres passifs en haute fréquence ne pose pas de problème, il n'en est pas de Les principales caractéristiques d'un filtre actif sont :

FILTRES ACTIFS

Si la réalisation de filtres passifs en haute fréquence ne pose pas de problème, il n"en est pas de

même en basse et très basse fréquence, à cause du facteur de qualité de la bobine, de ses

dimensions et de son coût.

On fait donc appel à des éléments actifs qui permettent de supprimer les bobinages ; actuellement, ce

sont les amplificateurs opérationnels qui sont les plus utilisés.

Ils peuvent amplifier, mais nécessitent une alimentation. Les filtres actifs ayant généralement une

impédance de sortie faible, la fonction de transfert de plusieurs filtres montés en cascade est égale au

produit des fonctions de transfert de chacun des filtres.

1. GENERALITES

1.1 Caractéristiques d"un filtre

Les principales caractéristiques d"un filtre actif sont :

· sa ou ses fréquence(s) de coupure,

· sa bande passante (filtres passe-bande et coupe-bande), · son coefficient d"amplification en tension maximal et son gain maximum. Elles ne dépendent, en première approximation, que des composants passifs utilisés.

1.2 Sensibilité

Ces caractéristiques peuvent varier en fonction de différents paramètres tels que vieillissement des

composants, variation de température, humidité etc...

La sensibilité exprime la variation relative d"une des caractéristiques en fonction de celle d"un

composant.

Exemple : sensibilité de la fréquence centrale d"un filtre sélectif en fonction de la résistance R

Sdf fdRRRfo=0 0/

1.3 Gabarit d"un filtre

L"utilisation d"amplificateurs opérationnels permet de réaliser des filtres d"ordre élevé.

Pour répondre à un cahier des charges, le filtre devra s"inscrire dans un gabarit :

G (dB)

f f afb

a représente l"ondulation acceptable dans la bande passante, β l"atténuation désirée à partir d"une

certaine fréquence f b.

On montre que l"ordre n du filtre qui s"inscrit dans le gabarit ci-dessus est donné pour une réponse de

Butterworth, par la relation :

nf f b a log log /10 1 10 1 210
10b a SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss AAAccctttiiifffsss...DDDOOOCCC 2

2. STRUCTURES DES FILTRES ACTIFS

2.1 Filtres à contre-réaction simple

2.1.1 Circuit de base

i"1i"2 v"2 v1v2 i1i2 QQ"

Q et Q" sont des quadripôles passifs constitués de résistances et condensateurs, quelquefois de

bobines. En supposant la tension d"entrée sinusoïdale, nous pouvons écrire, pour Q et Q" :

I Y V Y V

I Y V Y V1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1 11 1 12 2

2211222

" " . " " . " (1) (2) (3) (4) L"amplificateur opérationnel étant considéré comme parfait :

V2 = V"1 = 0 I2 = -I"1

A partir des équations (2) et (3), nous obtenons : V VV VY Ys e= = -" "2 121
12

Le quadripôle étant passif :

Y12 = Y21 Y"12 = Y"21

V VY Ys e= -21 21

Pour calculer ou mesurer

Y21 = (I2/V1)V2=0 , on court-circuite la sortie du quadripôle et l"on fait le rapport entre le courant de sortie et la tension d"entrée.

2.1.2 Exemples de filtre

Filtre passe-bas :

v"2v1C1 C1 R RR 1R1 C2 SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss AAAccctttiiifffsss...DDDOOOCCC 3

Calcul du paramètre Y21 du quadripôle Q :

v1C1

R Ri2i1

V p RR

R C pI p RR C p

R C pI p

I p G I p

G C pI p

R C pV p

R R C p

Y p

R R C p1

111
1 1 2 1 11 11 1 21
1 12 1 1 2 1 2( )

Calcul du paramètre Y

"21 du quadripôle Q" :

Q" est constitué du quadripôle Q en parallèle sur un condensateur, leurs paramètres admittance

s"ajoutent donc.

Le paramètre

Y21 du condensateur a pour expression -C2.p, donc :

Y p C pR R C p" ( ) ( ..( . . ))21 2

2= - ++

T pY p

Y pR R C p

C p

R R C pR C C p R C p( )( )

21
211
2 12 1 22 22
1 21
2 1 Fonction de transfert d"un filtre passe-bas du second ordre avec : w0

1 211= = -R C C. m =C

C T2

1 0

Autres exemples : voir tableau récapitulatif.

2.1.3 Sensibilités

Calculons par exemple les sensibilités de w

0 en fonction de R et de m en fonction de C2 .

Sd dR R R C C R C C d dR RC SRfo R fo = -ww w w w w 0 0 0

1 21 2

0 1 2 0 0 2 1

0 5 0 5

1/ ln( ) ln( ) , ln( ) , ln( )

C = ctes1

Ce qui signifie qu"une augmentation de R de 10% se traduit par une diminution de w

0 de 10%.

SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss AAAccctttiiifffsss...DDDOOOCCC 4 22m

2CC/dCm/dmS=

2/1 1 2 CCm)) donc son logarithme s"écrit )Cln(5,0)Cln(5,0)mln(12-= et sa dérivée : CdC 21
mdm 22
= lorsque C1 = cte donc : 21S m 2C=

Ce qui signifie qu"une augmentation de C

2 de 10% se traduit par une augmentation de m de 5%.

2.1.4 Propriétés des filtres à contre-réaction simple

Voir tableau récapitulatif.

2.2 Filtres à contre-réaction multiple : structure de Rauch

2.2.1 Circuit de base

Y1 Y2 Y3 Y4 vevs Y5 v

V pY p V(p Y p V p

Y p Y pV p

V p Y p

Y pV(p

V(p

Y p V p Y p V p

Y p Y p Y p Y ps

s e s-+=+ 3 5 3 5 3 5 1 4

1 2 3 40

Après élimination de V(p) à partir des deux équations précédentes, on obtient : ( )T pY p Y p

Y p Y p Y p Y p Y p Y p Y p( )( ). ( )

( ) ( ) ( ) ( ) . ( ) ( ). ( )= -+ + + +1 3

1 2 3 4 5 3 4

2.2.2 Exemples de filtre

Filtre passe-bande :

R1 C1 C2 R2 R3 vevsv SSSeeerrrgggeee MMMOOONNNNNNIIINNN FFFiiillltttrrreeesss AAAccctttiiifffsss...DDDOOOCCC 5

On obtient :

T pT m p

p m pT p p pm avec

C C R R

R C C C C T R RC

C Ccb( ). . /

+0 0 2 02 00 2 02 0 0

1 2 32

1 2 1 2 0 3 12 1 22 2 12 1w w w ww w w w Dw DwDw

Dw =

R"= R 1 Rch 1 3

On peut remarquer que R

2 n"intervient que dans l"expression de la pulsation centrale, elle sera donc

utilisée pour son réglage.

On peut simplifier le montage en choisissant C

1 = C2 = C, on aura ainsi :

w0 32
0 3 11 2= = -C R Rquotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

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FILTRES ACTIFS

1. GENERALITES

1.1 Caractéristiques d"un filtre

· sa ou ses fréquence(s) de coupure,

1.2 Sensibilité

Sdf fdRRRfo=0 0/

1.3 Gabarit d"un filtre

G (dB)

Butterworth, par la relation :

2. STRUCTURES DES FILTRES ACTIFS

2.1 Filtres à contre-réaction simple

2.1.1 Circuit de base

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V

I Y V Y V1 11 1 12 2

2 21 1 22 2

1 11 1 12 2

2211222

V2 = V"1 = 0 I2 = -I"1

Le quadripôle étant passif :

Y12 = Y21 Y"12 = Y"21

Pour calculer ou mesurer

2.1.2 Exemples de filtre

Filtre passe-bas :

Calcul du paramètre Y21 du quadripôle Q :

R Ri2i1

V p RR

R C pI p RR C p

R C pI p

G C pI p

R C pV p

R R C p

R R C p1

Calcul du paramètre Y

Le paramètre

Y p C pR R C p" ( ) ( ..( . . ))21 2

2= - ++

T pY p

Y pR R C p

R R C pR C C p R C p( )( )

1 211= = -R C C. m =C

C T2

Autres exemples : voir tableau récapitulatif.

2.1.3 Sensibilités

Calculons par exemple les sensibilités de w

0 en fonction de R et de m en fonction de C2 .

1 21 2

0 5 0 5

C = ctes1

0 de 10%.

2CC/dCm/dmS=

Ce qui signifie qu"une augmentation de C

2 de 10% se traduit par une augmentation de m de 5%.

2.1.4 Propriétés des filtres à contre-réaction simple

Voir tableau récapitulatif.

2.2 Filtres à contre-réaction multiple : structure de Rauch

2.2.1 Circuit de base

V pY p V(p Y p V p

Y p Y pV p

Y pV(p

Y p V p Y p V p

Y p Y p Y p Y ps

1 2 3 40

Y p Y p Y p Y p Y p Y p Y p( )( ). ( )

1 2 3 4 5 3 4

2.2.2 Exemples de filtre

Filtre passe-bande :

On obtient :

T pT m p

C C R R

C Ccb( ). . /

1 2 32

Dw =

On peut remarquer que R

2 n"intervient que dans l"expression de la pulsation centrale, elle sera donc

On peut simplifier le montage en choisissant C

1 = C2 = C, on aura ainsi :