Montrer que (X +Y,2X −Y )t est un couple gaussien Déterminer sa matrice de covariance Exercice 3 Soient X1 et X2 deux var iid suivant chacune la loi normale
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[PDF] I Vecteurs gaussiens I1 Exercice Expliciter la fonction
Calculer la covariance de X et Y b Le couple (X, Y b) forme-t-il un vecteur gaussien ? I 9 Exercice Soit X une variable aléatoire gaussienne centrée réduite et Y
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Expliquer comment simuler un vecteur gaussien centré de matrice de covariance K à partir de variables gaussiennes indépendantes Solution de l'exercice 2 Soit
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Les variables aléatoires Y1 −Y2 et Y1 +Y2 sont-elles indépen- dantes ? Exercice 2 Soit X := (X1, ,Xn) un vecteur gaussien centré de matrice de covariance
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Exercice 2 : changement de variables et indépendance pour vecteurs gaussiens Exercice 3 : comment générer un vecteur gaussien de vecteur moyenne m et
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Vecteurs Gaussiens Exercice 1: Soit V un vecteur aleatoire gaussien рa valeurs dans R Soient XБ,X2et X les composantes de V suivant la base canonique
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Exercice 1 Densité d'un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ Nous supposons que C = ADAt o`u D est
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Dans cet exercice X = (X1,X2,X3,X4)T désigne un vecteur gaussien de moyenne (0,0,0,0)T et de matrice de variance-covariance identité 1 Quelle est la loi de
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Exercice 10 1 Soit (X, Y ) un vecteur gaussien centré, avec E(X2)=4et E(Y 2) = 1, et tel que les variables 2X + Y et X - 3Y sont indépendantes 1 Déterminer la
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Exercice 1 Densité d'un vecteur gaussien Soit X un vecteur gaussien de matrice de covariance C et d'espérance µ Nous supposons que C = ADAt o`u D est
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Université de CaenL3TD n
o8 : Vecteurs gaussiensExercice 1.SoientXetYdeuxvar iidsuivant chacune loi normaleN(0;1). On poseU=X+Y
etV=XY. 1.Mon trerque (U;V)test un couple gaussien.
2.Mon trerque UetVsont indépendantes.
Exercice 2.Soit(X;Y)tun couple gaussien centré tel queE(X2) = 4etE(Y2) = 1, et lesvar2X+YetX3Ysont indépendantes.
1.Déterm inerla matrice de co variancede (X;Y)t.
2. Mon trerque (X+Y;2XY)test un couple gaussien. Déterminer sa matrice de covariance. Exercice 3.SoientX1etX2deuxvar iidsuivant chacune la loi normaleN(0;1).SoitY= (Y1;Y2)ttel que
Y=AX+b;
oùA=1 1 1 2 ,X= (X1;X2)tetb= (2;3)t. 1.Déterm inerla loi de Y.
2.Déter minerla loi de (Y1+Y2+ 1;3Y1Y2)t.
3. Déterm inerla loi de Y1+Y2+ 1, et la loi de3Y1Y2. Exercice 4.Soient2]1;1[et(X;Y)tunvectarsuivant la loiN2(02;V), avec V=1 1 1.Déterm inerune densité de (X;Y)t.
2. Mon trerque, p ourtout a2R,(X;YaX)test un couple gaussien. 3. Déter minerl"unique réel cpour lequelXetYcXsont indépendantes. 4. Ca lculerV(YcX), oùcdésigne le réel déterminé à la question3. Exercice 5.Soit(X;Y;Z)un vecteur gaussien. On poseU=X+Y+ZetV=XY. 1.Mo ntrerque (U;V)est un couple gaussien.
2. À quelle condition sur la matrice de co variancede (X;Y;Z)lesvarUetVsont-elles in- dépendantes ?C. Chesneau1TD no8Université de CaenL3Exercice 6.Soit(X1;X2;X3;X4)un vecteur devarsuivant la loi normale multivariéeN4(04;V),
avec V=0 BB@42 0 0
2 5 0 0
0 0 31
0 01 51
C CA: Soient(;)2R2et(Y1;Y2;Y3)le vecteur devardéfini par 8< :Y1= 5X1+X2+X3+X4;
Y2=X1X2+X4;
Y3=X1X2+X3:
1.Donner la loi de X1, et la loi deX3
2.Déterm inerla loi de (Y1;Y2;Y3).
3. Calculer les v aleursde etpour lesquelles les variablesY1,Y2etY3sont indépendantes.Pour de telles valeurs, calculerE(Y21Y22Y23).
Exercice 7.Soit(X;Y;Z)un vecteur gaussien centré tel queE(X2) =E(Y2) =E(Z2) = 1etE(XY) =E(Y Z) =E(ZX) =12
Déterminer la fonction caractéristique et une densité de(X;Y;Z). Exercice 8.Soientu2]1;1[et(X1;X2;X3)un vecteur devarde densité : f(x1;x2;x3) =pu21(2)32
exp 12 ux21+x22+ux23+ 2x1x3 ;(x1;x2;x3)2R3: 1. Mon trerque (X1;X2;X3)suit la loi normale multivariéeN3(03;D), avec D=1u 210@u01