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Chapitre 26 : Bissectrices d'un triangle.
1. Problème
Les bissectrices d'un triangle sont-elles concourrantes ?2. Conjecture.
Conjecture : Il semble que dans un triangle, les trois bissectrices soient concourrantes.3. Démonstration.Hypothèses :•ABC est un triangle.
•(d) est la bissectrice de ^ABC. •(d') est la bissectrice de ^BCA. On admet que (d) et (d') sont sécantes. On appelle O leur point d'intersection.Idée : Pour démontrer que les trois bissectrices de ABC sont concourantes, il faut et il suiÌifiÌit de montrer
que O appartient à la bissectrice de ^BAC. On appelle respectivement H1, H2 et H3 les pieds des perpendiculaires aux droites (AC), (AB) et (BC) passant par O.1. On démontre que OH1 = OH2 = OH3On sait que : O appartient à (d), la bissectrice de ^ABC.
Théorème : Si un point appartient à la bissectrice d'un angle alors il est équidistant des deux côtés de
l'angle.Conclusion : OH2 = OH3.
De la même façon, on démontrerait que : OH3 = OH1.On en déduit que : OH1 = OH2 = OH3.
2. On démontre que O appartient à la bissectrice de
^BAC.On sait que : OH1 = OH2
Théorème : Si un point est équidistant des côtés d'un angle alors il appartient à la bissectrice de cet
angle. Conclusion : O appartient à la bissectrice de BAC.3. Conclusion :
O appartient aux trois bissectrices de ABC, ces dernières sont concourantes.4. Remarque :
De plus, on a : OH1 = OH2 = OH3.
On en déduit que : H1, H2 et H3 appartiennent tous les trois au cercle (C) de centre O et de rayon OH1.
H1 appartennant au cercle (C) et les droites (OH1) et (AC) étant perpendiculaires, on en déduit que
(AC) est tangente au cercle (C).Pour les mêmes raisons, les droites (BC) et (AB) sont respectivement tangentes au cercle (C) en (H3) et
(H2).4. Théorème et déifinition
On vient de démontrer les théorèmes suivants :Théorème 1
Les bissectrices d'un triangle sont concourantes.
Théorème 2
Le point de concours des bissectrices d'un triangle est équidistant des côtés du triangle.Théorème 3
Le point de concours des bissectrices d'un triangle est le centre d'un cercle qui est tangent aux trois
côtés du triangle.D'où la déifinition
Déifinition :
Soit ABC un triangle et O le point de concours des bissectrices.Le cercle de centre O tangent aux trois côtés du triangle ABC est appelé cercle inscrit dans le triangle
ABC.quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33