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[PDF] TD no 10 — Équivalents

a) sin x b) cosx c) tan x d) (1 + x)α − 1 e) arcsin x f) arctan x Exercice 2 Donner des équivalents polynomiaux en 0 des fonctions suivantes : a) ln(1 + x) sin2 x

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Exercice 1 Équivalents de fonctions au voisinage de 0 Par un développement limité au voisinage de 0 montrer les équivalences suivantes : 1 sin(x) ∼0 x

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g −1) Indications Correction de l'exercice 1 : (a) Par équivalents usuels, ln (1 + 2

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Donner un équivalent de f en +∞ Exercice 13 Comparaison d'une fonction et de sa primitive Comparer les fonctions ex2 et ∫ x

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Exercice 1 Trouver une fonction équivalente de tan(x), puis de arctan(x)) en 0 Exercice 2 Donner des équivalents des fonctions suivantes, et calculer leur limite

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[PDF] Exercice 1 Donner des équivalents en 0 des fonctions suivantes

Faire une étude locale au voisinage de −∞ et de +∞ en précisant les li- mites, les asymptotes éventuelles et la position de la courbe par rapport `a ses

pdf Chapitre 10 - Equivalents´

Équivalents de fonctions Exercice 9 : Donner un équivalent simple en 0des fonctions ci-dessous et la limite éventuelle en 0 (a) ln(1+sin(x)); (b) ln(1+2x) cos(3x)?1; (c) (1?cos(x))ln(1+x3) x3tan2(3x); (d) ln(cos(x)) Exercice 10 : [corrigé] Déterminerunéquivalentdesfonctionsf suivantesenapuiscalculer lim x?a f(x): (a) f(x)=xln 1+x x

Feuille d’exercices 6 - Fonctions équivalentes

Exercice 1 Trouver une fonction équivalente de tan(x) puis de arctan(x)) en 0 Exercice 2 Donner des équivalents des fonctions suivantes et calculer leur limite (a) f(x) = 2x3+7x287 en +1; (b) f(x) = x85x9+4x en 1 ; (c) f(x) = x85x9+4x+3 en 0; (d) f(x) = 3x45x3+8x 2x4+87 en +1; (e) f(x) = x24x+8x 2x3+10 en +1; (f) f(x) = sin(x)(ex1) cos

Équivalents et Développements (Limités et Asymptotiques)

Faire l’étude de la fonction fn Montrer qu’il existe un unique réel un tel que fn (un) = 0 Donner un encadrement de un ainsi que son signe En remarquant que fn (un) = 0 calculer le signe de fn+1 (un) En déduire la monotonie de la suite u Montrer que la suite u est convergente on notera l sa limite

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Exercice 2 Trouver un équivalent pour chacune des fonctions suivantes (1 + x) 1 0 tan(x) 0 Arcsin(x) 0 th(x) 0 Arctan(x) 0 ln(1 + sh(2x)) 0 eax ebx 0 avec a 6 = b deux réels

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Chapitre 5

Limites et comparaison de fonctions

1 Points importants 3 Questions de cours 6 Exercices corrigés

2 Plan du cours 4 Exercices types 7 Devoir maison

5 Exercices

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Et s"il ne fallait retenir que six points?1.Le théorème des limites monotones pour les applications.Soitfune application de]a;b[

dansRalors : a) si fest croissante et majorée alorslimx!bf(x)existe et vautSup x2]a;b[f(x). b) si fest croissante et minorée alorslimx!af(x)existe et vautInf x2]a;b[f(x). c) si fest décroissante et majorée alorslimx!af(x)existe et vautSup x2]a;b[f(x). d) si fest décroissante et minorée alorslimx!bf(x)existe et vautInf x2]a;b[f(x).

2.Le théorème d"encadrement pour les applications.S"il existe un intervalle]a;b[contenant

0tel que

f(x)g(x)h(x)l=limx!x0f(x) =limx!x0h(x) alorsgadmet une limite enx0et cette limite est égale àl. Une conséquence importante : le produit d"une application ayant 0 pour limite enx0par une application bornée au voisinage de x

0est une application qui tend vers 0 enx0.

3.Caractérisation séquentielle de la limite.C"est-à-dire, pourldansR:

lim x!x0f(x) =l()Pour toute suite(un)tendant versx0on af(un)tend versl

Remarquons que cette propriété est très utile pour montrer qu"une application n"a pas de limite

enx0. Il sut de trouver deux suites(un)et(vn)qui tendent versx0en+∞et telles que les suites(f(un))et(f(vn))n"aient pas la mOEme limite.

4.Stabilité de la limite par les diérentes opérations.Les opérations sont : combinaisons

linéraires, produit, composition, sup, inf,f+,f,jfj.

5.Savoir si une fonctionfest équivalente, dominée ou négligeable par rapport à une

fonctiongena.Pour cela, il faut regarder d"abord si l"une des deux fonctions ne s"annule pas sur un voisinage deaprivé dea. Si c"est le cas (supposons que ce soitg), il faut déterminer la limite du quotientf/g: Si f(x)g(x)-!x!a+∞alorsg=o(f)ena. Sif(x)g(x)-!x!a0alorsf=o(g)ena. Si f(x)g(x)-!x!a1alorsfgena. Sif(x)g(x)-!x!abalorsfb.gena. 1

6.Savoir trouver l"équivalent d"une expression.Pour cela, il faut retenir plusieurs points :

a) L"équiv alentd"un pro duitest le pro duitdes équiv alents b)

L"équiv alentdu somme n"est en géné ralpasla somme des équivalents. Si l"on cherche l"équi-

valent def+g, on peut : regarder sif=o(g)(oug=o(f)). Dans ce casf+gg regarder sifa.gaveca6=-1. Dans ce casf+g(1 +a)g

revenir aux dénitions avec les". Cette méthode étant la plus ecace, puisqu"elle généralise

les deux précédentes. c) On ne p eutpas appliquer une f onctionquelconque aux deux mem bresd"u neéquiv alence(i.e. sifgcela n"entraîne pas (toujours) queh o fh o g. Cependant on a quelques résultats : fg=)fgpour toutdeR fgetlimx!af(x) = 0ou+∞=)ln(f)ln(g) f-g-!x!a0 =)ef(x)eg(x)

les expressions précédentes sont vraies uniquement si elles ont un sens. Ainsi, par exemple, la

deuxième n"est vraie que si les fonctions considérées sont strictement positives. d) On p euteect uerdes c hangementsde v ariables.Ainsi si fgenaeth(x)-!x!baalors f o hg o henb. 2

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Plan du coursI. Les dénitions............................................................................ 2

1/ Limites nies en un point nie.................................................... 2

2/ Les limites innies..................................................................3

3/ Moyen mnémotechnique : la méthode du puzzle.................................3

4/ Unication des dénitions..........................................................3

5/ Les limites à gauche et à droite................................................... 3

II. Propriétés des limites..................................................................4

1/ L"ensembleR........................................................................ 4

2/ Propriété vraie au voisinage....................................................... 4

3/ Caractérisation séquentielle........................................................4

4/ Propriétés de la limite et opérations..............................................5

5/ Passage à la limite dans une inégalité large...................................... 5

6/ Le théorème d"encadrement........................................................6

7/ Le théorème des limites (des fonctions) monotones............................. 6

III. Comparaison de fonctions............................................................6

1/ Les trois outils...................................................................... 6

2/ Caractérisation avec les limites....................................................7

3/ Exemples............................................................................ 7

4/ Propriétés........................................................................... 7

5/ Zoom sur les propriétés de l"équivalence......................................... 7

IV. Exemples et applications.............................................................7

1/ Equivalents usuels.................................................................. 7

2/ Les croissances comparées......................................................... 7

3/ Application 1 : calcul de limites...................................................7

4/ Application 2 : signe local d"une fonction........................................ 7

5/ Application 3 : asymptote et position............................................7

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Questions de cours1. Donner les dénitions de

limx!x0f(x) =llimx!-∞f(x) =llimx!x0f(x) = +1 lim x!x+

0f(x) =1 limx!+∞f(x) =l-lim

x!x

0f(x) =l+(I)

2. Supposons quefait une limite identique à gauche et à droite enx0. Montrer que

ces hypothèses ne sont pas susantes pour conclure quefadmet une limite enx0. Compléter les hypothèses de façon à ce que le théorème devienne vrai.(I)

3. Énoncer le théorème des limites monotones pour les fonctions, puis montrer que

F(x) =Z

111 +t3dtadmet une limite en+1.(II)

4. Donner la dénition de fonctions dominées, négligeables et équivalentes (On pourra

si nécessaire commencer par le cas oø les fonctions ne s"annulent pas). Pour chaque cas vous donnerez un exemple.(III)

6. Énoncer le théorème des croissances comparée en+1. En déduire quexln(x)!x!00. (IV)

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Exercices typesExercice 1 - Obtention d"équivalents.

Donner un équivalent de :

a) ln(x)en1b)esin(x)-1en0c) arctan(x)-2 en+∞d)esin(ln(x2))-1en1

Exercice 2 - Asymptotes.Donner une équation de l"asymptote defen+∞ainsi que la position relative de l"asymptote par

rapport à la courbe. a)f(x) =x2sin?1x b)x+1ln(x) + 1-x

Exercice 3 - Appliquerlnà un équivalent.Soientfetgdeux applications dénies surRstrictement positives. Montrer que :

8 :lim x!x0ln(f(x)) =∞ fx0g=)ln(f)x0ln(g) Pour la preuve, on pourra se contenter du cas oøln(g)ne s"annule pas. Donner ensuite un contre- exemple montrant que la première hypothèse est nécessaire. 1

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Exercices"L"Angleterre est un pays formidable, le

seul oø l"on puisse rouler à gauche le samedi soir."

J.E. HallierVrai - Faux

Exercice 1.

Déterminer si les propositions suivantes sont vraies ou fausses : 1. Si a?Dfet silimx!af(x)existe alorslimx!af(x) =f(a). 2. Si limx!a-f(x) =limx!a+f(x) =l, alorslimx!af(x) =l 3. Soien t(un)et(vn)deux suites qui convergent versaet telles que(f(un))et(f(vn))convergent vers des valeurs diérentes, alorsfn"admet pas de limite ena. 4. Si limx!afg(x)existe, alors :limx!af(x)g(x) =limx!af(x)×limx!ag(x) 5. Si f < gau voisinage dea, alorslimx!af(x)< limx!ag(x). 6. Si I=]a;b]et sifest croissante et majorée surI, alorslimx!af(x)existe. 7.

Au v oisinagede 0 ,on a : x2=o(x6).

Au v oisinagede a, on ao(f) +o(f) =o(f).

Si f≂gau voisinage deaalorsf-g=o(g).

10.

Si limx!af(x) =limx!ag(x)alorsf≂ag.

11.sin(x)≂0tan(x).

12.ln(x)≂0x.

13.ln(x)≂1x-1.

14. Si f(x) = 2x2+o(x2)etg(x) = 2x2+o(x2)en0alorsf-gest négligeable devantx2. 15.

2x+o(x)x

= 2 +o(x)

Rep .7 vraies / 8 fausses (VFVFFFFVVFVFVVF)

Niveau 1

RExercice 2.Déterminer les limites des fonctions suivantes :

1: limx!0+xln(sin(x)) 2: limx!1x:Arctan(ex)

3: limx!+1x?

Arctan(x)-2

4: limx!+1e

x4 xln(x) Exercice 3.Déterminer la limite quandxtend vers +∞de :

1: ex-x2+ ln(x) 2: e2x-ex+⎷x

3: e2x-3xln(x) 4: x2-ln(x)=?ex-x2?

5: epx

-x26: x1=px

7:ln?x2-x+ 3?-x8:ln(ex-3x)-ln(x)

9:?x

2-3x+ 2-⎷x+x210:⎷e

x-x+ 3-ex+ ln?x2-3? Exercice 4.Déterminer la limite quandxtend vers 0 de :

1: xln(x)avec >0 2:ln(x) + 1=x

3: xx4:ln(x)-x-1x

5:x2+ 3x+ 1=ln(x)x-1=ln(x)6:ex-1ln(1 +x)

Exercice 5.Soitgla fonction dénie deR+dansRpar : g(x) =x+ 12x+ 1-ln(x) 1.

Étudier les v ariationsde g.

Préciser les branc hesinnies de Cg.

3. Mon trerque l"équation g(x) = 0admet une solution unique dans]0;+∞[. Donner une valeur approchée de cette solution, en indiquant la méthode employée et la précision obtenue. 2

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Chapitre 5

Limites et comparaison de fonctions

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5 Exercices

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

2.Le théorème d"encadrement pour les applications.S"il existe un intervalle]a;b[contenant

0tel que

0est une application qui tend vers 0 enx0.

3.Caractérisation séquentielle de la limite.C"est-à-dire, pourldansR:

4.Stabilité de la limite par les diérentes opérations.Les opérations sont : combinaisons

5.Savoir si une fonctionfest équivalente, dominée ou négligeable par rapport à une

6.Savoir trouver l"équivalent d"une expression.Pour cela, il faut retenir plusieurs points :

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

1/ Limites nies en un point nie.................................................... 2

2/ Les limites innies..................................................................3

3/ Moyen mnémotechnique : la méthode du puzzle.................................3

4/ Unication des dénitions..........................................................3

5/ Les limites à gauche et à droite................................................... 3

1/ L"ensembleR........................................................................ 4

2/ Propriété vraie au voisinage....................................................... 4

3/ Caractérisation séquentielle........................................................4

4/ Propriétés de la limite et opérations..............................................5

5/ Passage à la limite dans une inégalité large...................................... 5

6/ Le théorème d"encadrement........................................................6

7/ Le théorème des limites (des fonctions) monotones............................. 6

1/ Les trois outils...................................................................... 6

2/ Caractérisation avec les limites....................................................7

3/ Exemples............................................................................ 7

4/ Propriétés........................................................................... 7

5/ Zoom sur les propriétés de l"équivalence......................................... 7

1/ Equivalents usuels.................................................................. 7

2/ Les croissances comparées......................................................... 7

3/ Application 1 : calcul de limites...................................................7

4/ Application 2 : signe local d"une fonction........................................ 7

5/ Application 3 : asymptote et position............................................7

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Questions de cours1. Donner les dénitions de

0f(x) =1 limx!+∞f(x) =l-lim

0f(x) =l+(I)

2. Supposons quefait une limite identique à gauche et à droite enx0. Montrer que

3. Énoncer le théorème des limites monotones pour les fonctions, puis montrer que

F(x) =Z

111 +t3dtadmet une limite en+1.(II)

4. Donner la dénition de fonctions dominées, négligeables et équivalentes (On pourra

6. Énoncer le théorème des croissances comparée en+1. En déduire quexln(x)!x!00. (IV)

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Donner un équivalent de :

Chap 5Limites et comparaison de fonctions

Exercices"L"Angleterre est un pays formidable, le

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Exercice 1.

Au v oisinagede 0 ,on a : x2=o(x6).

Au v oisinagede a, on ao(f) +o(f) =o(f).

Si f≂gau voisinage deaalorsf-g=o(g).

Si limx!af(x) =limx!ag(x)alorsf≂ag.

11.sin(x)≂0tan(x).

12.ln(x)≂0x.

13.ln(x)≂1x-1.

2x+o(x)x

Rep .7 vraies / 8 fausses (VFVFFFFVVFVFVVF)

Niveau 1

1: limx!0+xln(sin(x)) 2: limx!1x:Arctan(ex)

3: limx!+1x?

Arctan(x)-2

4: limx!+1e

1: ex-x2+ ln(x) 2: e2x-ex+⎷x

3: e2x-3xln(x) 4: x2-ln(x)=?ex-x2?

5: epx

7:ln?x2-x+ 3?-x8:ln(ex-3x)-ln(x)

2-3x+ 2-⎷x+x210:⎷e

1: xln(x)avec >0 2:ln(x) + 1=x

3: xx4:ln(x)-x-1x

5:x2+ 3x+ 1=ln(x)x-1=ln(x)6:ex-1ln(1 +x)

Étudier les v ariationsde g.

Préciser les branc hesinnies de Cg.

Exercice 6.

Etudier les branches innies deCfavec :