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Ire B - math I - chapitre II - Les coniques

- 1 -CHAPITRE II

LES CONIQUES

Table des matières

COURS

1) Différentes approches des " coniques »... ......................... page 2

2) Equation focale d"une conique ...................................... page 4

3) Axe focal de Γ.......................................................... page 7

4) Sommets de Γ.......................................................... page 7

5) Equations cartésiennes réduites d"une parabole ................... page 12

6) Equations réduites d"une ellipse et d"une hyperbole .............. page 16

7) Courbes algébriques du second degré ............................... page 27

8) Définition bifocale des coniques centrées .......................... page 31

9) Tangentes d"une conique.............................................. page 35

10) Propriétés optiques des coniques...................................... page 39

FORMULAIRE ........................................................ page 47 EXERCICES................................................................. page 49

Ire B - math I - chapitre II - Les coniques

- 2 - COURS

1) Différentes approches des " coniques »

Au cours d"analyse vous avez vu que les courbes représentatives des fonctions du second degré 2 f(x) ax bx c= + + sont appelées " paraboles » et que celles de certaines fonctions homographiques ( )ax bf xcx d +=+ sont appelées " hyperboles ». Vous savez

également que le cercle de centre

()a,bW et de rayon r est le lieu géométrique des points M(x,y) dont les coordonnées vérifient l"équation du second degré

2 22x a y b r- + - =. Par ailleurs tout le monde a entendu parler de ces " cercles

aplatis » qu"on appelle " ellipses »....

Toutes ces courbes, qui sont connues et ont été étudiées depuis l"Antiquité pour le rôle

important qu"elles jouent en physique (en particulier en astronomie), peuvent être définies comme l"intersection d"un double cône infini et d"un plan Soient a et d deux droites dans l"espace sécantes en O et formant un angle aigu En faisant tourner d autour de a (en gardant toujours le même angle

θ) on obtient

une surface dans l"espace appelée double cône infini d"axe a et de génératrice d (voir figure page suivante). En coupant ce double cône avec un plan a on obtient (suivant la position du plan par rapport à la droite a), soit un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole, appelés coniques, soit le point O, une droite ou deux droites sécantes, appelés coniques dégénérées. Essayez de " voir » comment obtenir chacune de ces figures !

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- 3 - Sur la figure suivante, ? représente une parabole, ? un cercle et une ellipse et ? une hyperbole : Qrquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18