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Exercice 12 11 Réduire la conique C d'équation x2 + √3xy + x = 2 (Nature, centre, angle que fait l'axe focal avec Ox) 2 Les techniques Exercice 12 12 Soit (E) 

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j ) 1) Soit C : 2x2 + xy + y2 + 4x − y − 2=0 • Le discriminant de C est ∆=1 − 8 = −7 < 0 Donc C est du genre ellipse • Recherche du centre Ω(x0, y0)

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par rapport à la droite a), soit un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole, appelés coniques, soit le point O, une droite ou deux droites sécantes ,

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Lycée Corneille

2010/2011Coniques

TD Fiche 9 - Qq corrigés

Exercice 6Le plan étant rapporté à un repère orthonormal, déterminer la nature et les éléments caractéristiques des

coniques suivantes et les représenter: 1)

2x2+xy+y2+ 4xy2 = 0

2) x

2+ 8xy5y228x+ 14y+ 3 = 0

3) x

22xy+y26x10y+ 9 = 0

Correction -Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;!i ;!j). 1)

SoitC: 2x2+xy+y2+ 4xy2 = 0.

Le discriminant deCest = 18 =7<0. DoncCest du genre ellipse.

Recherche du centre

(x0;y0). Les formules de changement de repère du repère(O;!i ;!j)vers le repère( ;!i ;!j)sont( x=X+x0 y=Y+y0. Formules que l"on injecte dans l"équation deCpour obtenir: M(X;Y)2 C ,2(X+x0)2+ (X+x0)(Y+y0) + (Y+y0)2+ 4(X+x0)(Y+y0)2 = 0 ,2X2+XY+Y2+ (4x0+y0+ 4)X+ (x0+ 2y01)Y+= 0: On cherche à annuler les termes enXetY, on résout alors(

4x0+y0=4L1

x

0+ 2y0= 1L2. Alors2L1L2donne7x0=9i.e.

x 0=9 7 . EtL14L2donne7y0=8i.e.y0=8 7 . D"où 9 7 ;8 7 Une équation cartésienne deCdans le repère(O;!i ;!j)est

2X2+XY+Y2+ 29

7 2 9 7 8 7 +8 7 2 49
7 8 7

2 = 0,2X2+XY+Y2+ 236

7 = 0 () Suppression des termes mixtes. Les formules de changement de repère, du repère( ;!i ;!j)vers le repère( ;!u;!v)sont(

X= cosx0siny0

Y= sinx0+ cosy0, que l"on injecte dans l"équation()deCpour obtenir

2(cosx0siny0)2+ (cosx0siny0)(sinx0+ cosy0) + (sinx0+ cosy0)236

7 = 0: On cherche à annuler le terme mixte enx0y0qui est

4sincos+ cos2sin2+ 2sincos= cos(2)sin(2):

Donc= 8 convient. Une équation cartésienne deCdans ;!u 8 ;!v 8 est donc: 2cos2 8 + sin 8 cos 8 + sin2 8 x02+ 2sin2 8 sin 8 cos 8 + cos2 8 y0236 7 = 0: Or cos 2 8 =1 + cos2 8 2 =1 +p 2 2 2 =2 +p 2 4 sin2 8 =1cos2 8 2 =1p 2 2 2 =2p 2 4 sin 8 cos 8 =1 2 sin2 8 =p 2 4

Par conséquent:

M(x0;y0)2 C ,3 +p

2 2 x02+3p 2 2 y02=36 7 ,x02 72
7(3+ p 2) +x02 72
7(3p 2) = 1 x02 6p 2 p 7(3+ p 2) 2+x02 6p 2 p 7(3p 2) 2= 1

Observons que

6p 2 p 7(3+ p 2) <6p 2 p 7(3p 2) . Par conséquent,Cest l"ellipse de centre 9 7 ;8 7 , de demi grand axe 6p 2 p 7(3p 2)

2:55)dirigé par!v

8 et de demi petit-axe6p 2 p 7(3+ p 2) (1:53).quotesdbs_dbs2.pdfusesText_3