Lycée La Prat's Vendredi 10 février 2017 Classe de PT Épreuve de Mathématiques 6 Correction Exercice 1 (Réduction et tracé de conique)
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Lycée La Prat"s Vendredi 10 février 2017
Classe de PT
Épreuve de Mathématiques 6
CorrectionExercice 1 (Réduction et tracé de conique)Partie quadratique: SoitA=?1 4
4-5? Elle est symétrique réelle donc diagonalisable dans une base orthonormée.A(x) = det(xI2-A) =?
????x-1-4 -4x+ 5? ????= (x-1)(x+ 5)-16 =x2+ 4x-21 CommeΔ = 42+ 4×21 = 4×25 = 100, on aλ=-4±102 etSp(A) ={-7,3}
Les deux valeurs propres sont de signe opposé (ce qui peut se voir aussi avec le déterminant), donc la courbe
est une hyperbole ou un cas dégénéré associé (deux droites). Déterminons les sous-espaces propresEλ= Ker(λI3-A): X=?x y? ?E3???2-4 -4 8?? x y? = 0 ??2x-4y= 0 ??X?Vect(?2 1?DoncE3= Vect(?2
1?CommeAest symétrique réelle,E-7?E3, et donc, pour des raisons dimensionnelles,E-7=E?3. Ainsi une
base orthonorméeB?de diagonalisation et les matrices diagonales et de passage associée sont B ?= (1⎷5 2 1? ,1⎷5 -1 2? )etD=?3 0 0-7? , P=1⎷5 2-1 1 2?En notantX?=?x?
y les coordonnées dansB?, la partie quadratique s"écrit x2+ 8xy-5y2=tXAX=tX?DX?= 3x?2-7y?2
Partie linéaire: La formule de changement de base s"écritX=PX????
??x=1⎷5 (2x?-y?) y=1⎷5 (x?+ 2y?) 1DST6En remplaçant dans la partie linéaire :
-28x+ 14y=1⎷5 -4×7(2x?-y?) + 2×7(x?+ 2y?)?1⎷5
-6×7x?+ 8×7y??Lorsque les nombres deviennent grands, les garder sous forme de produits de facteurs peut être une bonne idée.
Puis l"équation s"écrit dansB?:
x2+ 8xy-5y2-28x+ 14y+ 3 = 3x?2-7y?2-6×7⎷5
x?+8×7⎷5 y?+ 3 = 3 x?2-27⎷5 x?? -7? y?2-24⎷5 y?? + 3 (?) = 3 x?-7⎷5 2-725 -7? y?-4⎷5 -425 + 3 (?) = 3x??2-7y??2-3×725 +7×425 + 3 =KNe pas sauter d"étape lors de la mise sous forme canonique. Je déconseille vivement d"essayer de faire des prouesses
et une des lignes(?)de tête : vous vous contenterez de perdre des points et du temps bêtement.