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Exercice 12 11 Réduire la conique C d'équation x2 + √3xy + x = 2 (Nature, centre, angle que fait l'axe focal avec Ox) 2 Les techniques Exercice 12 12 Soit (E) 

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j ) 1) Soit C : 2x2 + xy + y2 + 4x − y − 2=0 • Le discriminant de C est ∆=1 − 8 = −7 < 0 Donc C est du genre ellipse • Recherche du centre Ω(x0, y0)

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par rapport à la droite a), soit un cercle, une ellipse, une parabole ou une hyperbole, appelés coniques, soit le point O, une droite ou deux droites sécantes ,

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Chapitre 12

CONIQUES

Enoncé des exercices

1Les basiques

Exercice 12.1Dans le plan muni d"un repère orthonormé?

O,-→i ,-→j?

,soitCla conique de foyerF: (1,-1)de directriceD:x= 5et d"excentricitée=1 3.

1. Déterminer la nature deC(ellipse, hyperbole, parabole), l"axe focal, les coordonnées des sommets principauxA

etA ?, secondairesBetB?, du centreΩ, du second foyerF?et la seconde directriceD?.

2. Préciser l"équation deCdans le repère?

O,-→i ,-→j?

et les coordonnées des points d"intersection avec les axes.

Exercice 12.2SoientAetBdeux points distincts du plan,Ile milieu de[A,B].Déterminer l"ensemble des points

Mdu plan tels queMI

2=MA×MB. (On peut supposer que la distanceABvaut2).

Exercice 12.3SoitEune ellipse de foyerF,une droiteDpassant parFcoupeEen deux pointsMetM?. Que dire de1 FM+1FM?? (Le pointFa un rôle particulier, quelle représentation deEchoisir?)

Exercice 12.4SoitEun ellipse de foyerF,F?et de centreO. On noteala longueur du demi grand axe etc=OF.

Montrer que

M? E ??MF×MF

?+OM2= 2a2-c2 (C"est la définition trifocale de l"ellipse).

Exercice 12.5SoitCun cercle de centreOetA? C. PourM? C, on construit le projetéNsur le diamètre

perpendiculaire à(OA)etI= (OM)∩(AN). Lieu deIquandMdécritC(chercher l"équation polaire).

Exercice 12.6Soita,bdeux réels tels que0< a < b.Pour toutt /? {a,b}on considère la courbeCtd"équation

x 2 a-t+y 2 b-t= 1

1. Quelle est la nature deC

t? Montrer que siCtest une conique, ces foyers ne dépendent pas det.

2. Montrer que siC

tetCu, pourt?=u, se coupent enM, alors elles sont orthogonales (i.e. les tangentes enMà C tet àCusont orthogonales).

Exercice 12.7SoitEune ellipse de centreO,soitMsurE, on noteM?le symétrique deMpar rapport à l"axe focal.

La normale àMcoupe (en général) la droite(OM ?)en un unique pointP. Quel est le lieu dePlorsqueMdécritE?

Exercice 12.8SoitCetC?deux cercles tels queC?soit inclus dansC. Montrer que le lieu des centres des cercleΓ

tangents àCetC ?est inclus dans une ellipse (On admet la réciproque). Préciser comment construire les sommets principaux.

2. LES TECHNIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

Exercice 12.9Soitα?R, dans le plan muni d"un repère orthonormé direct, on considère l"ensembleCαdes points

Mde coordonées?x

y? telles que x

2+y2+ 2αxy-1 = 0

1. Discuter en fonction deαdu genre de la conique.

2. Préciser l"ensembeC

0.

3. Préciser les ensembleC

1etC-1.

4. On considère le repèreR

θ= (O,-→u ,-→v)obtenu par rotation d"angleθdeR,on note?X Y? les coordonnées de

Mdans ce repère. Comment choisirθ??0,

2 ?pour que le terme enXYde l"équationC

αdans ce repère soit

nul? Quel est alors l"équation deC

5. En déduire les paramètresa,b,cetelorsqueα=1

2etα= 2.

Exercice 12.10On se place en repère orthonormé, soitCla conique d"axes parallèles aux axes du repère, de centre

C: (2,4), tangente à la droitey= 1et passant par le point de coordonnées?

2 +⎷

20 3,6? .Donner une équation de cette conique, sa nature, préciser son excentricitée.

Exercice 12.11Réduire la coniqueCd"équationx2+⎷3xy+x= 2(Nature, centre, angle que fait l"axe focal avec

Ox).

2Les techniques

Exercice 12.12Soit(E)une ellipse de centreO,MetM?deux points de l"ellipse tels que(OM)?(OM?), montrer

que1 OM2+1OM?2est une constante qui ne dépend ni deM, ni deM?.

Exercice 12.13SoitPune parabole de paramètrepetMun point dePdistinct du sommet. Montrer que la normale

enMàPrecoupePen un autre pointN. Calculer le minimum de la distanceMNlorsqueMdécritP. Construire

les points qui réalisent le minimum.

Exercice 12.14SoitPune parabole. On considère une droiteDnon parallèle à l"axe focal, qui coupePen deux

pointsM

1etM2. On suppose queDn"est pas la normale àP,ni enM1,ni enM2. On trace les normales enM1et

enM

2àP. Montrer que ces normales se coupent en un point dePsi et seulement siDpasse un point fixe de l"axe

focal.

Exercice 12.15Déterminer le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires à une parabole

P.

Montrer que dans ce cas le segment reliant les points de contact entre les deux tangentes et la parabole passe par le

foyer de celle ci. Exercice 12.16SoitCune ellipse ou une hyperbole d"équation réduitex 2 a2+εy 2 b2= 1oùε2= 1, soitDune droite

variable d"équation normalecosθx+ sinθy=p(θ); donner une condition surp(θ)pour queDsoit tangente àC. En

déduire que le lieu des points d"où l"on peut mener deux tangentes perpendiculaires àCest inclus dans un cercle (dit

cercle de Monge de la conique, ou orthoptique de la conique).On admet la réciproque. Exercice 12.17SoitPune parabole etAun point, une droiteDvariable passant parAcoupeDen deux pointsM1

etM2.Montrer que le lieu du point d"intersection des tangentes àPenM1etM2est une droite. Que dire de cette

droite siAest sur l"axe focal de la parabole, siAest le foyer?

Exercice 12.18SoitPune parabole, une corde focale variable coupe la parabole endeux pointsM1etM2.Montrer

que le cercle de diamètre[M

1,M2]est tangent à la directrice. Quel est le lieu du centre de ce cercle?

-2/40-

G´??? H - E? M???? -(?) 2009

CHAPITRE 12. CONIQUES2. LES TECHNIQUES

Exercice 12.19SoitCla conique d"équation polairer=p1 +ecosθ,M0un point de deCde coordonnées polaires

(r

0,θ0).Donner l"équation polaire de la tangente enM0.

Exercice 12.20Attention! Excercice très long!!!!

SoitE:x

2 a2+y 2 b2= 1une ellipse. A quelle condition le cercleCde centreOpassant par le foyerF: (c,0)coupe-t-ilE?

Dans ce casC ∩ Eest composé de quatre points, si on paramétre un des points d"intersection parM: (acosθ,bsinθ),

exprimer l"excentricitéedeEen fonction deθ.SoitM

0le point d"intersection à coordonnées positives, la tangente en

M

0coupe le cercle principal enPetQ.Montrer queOPQest rectangle enO.

Exercice 12.21On considère la parabolePd"équationy=x2+ 2x-1et l"hyperboleHd"équation2x2-y2+ 1 = 0

dans un repère orthonormé.

1. Montrer que ces deux coniques se coupent en quatre points.

2. Montrer que ces points sont sur un même cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

Exercice 12.22SoitMun point situé sur un quart d"ellipse. La tangente enMcoupe les axes principaux et secon-

daires enPetQ(cf schéma). Calculer le minimum dePQet les coordonnées deMréalisant le minimum.

Exercice 12.23On considère le schéma suivant :PQest un diamètre de l"ellipseE, la droiteDest tangente enM

-3/40-

G´??? H - E? M???? -(?) 2009

3. LES EXOTIQUESCHAPITRE 12. CONIQUES

à l"ellipse et parallèle à(PQ)et le cercle est tangent àEet à(PQ).

Montrer quePQ×r=ab.

Exercice 12.24 (Oral Mines-Ponts)SoitEune ellipse de centreO,AetBdeux points deEnon alignés avecO,

les tangentes enAetBse coupent enM. Montrer queM,Oet le milieuIde[A,B]sont alignés.

Exercice 12.25SoitEune ellipse, pourM? Edifférent des sommets, la normale enMcoupe le grand axe enCet

le petit axe enCquotesdbs_dbs2.pdfusesText_3