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Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels En effet : ( ) Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont 

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Le conjugué de z est le nombre complexe z x iy = − Exemple Le conjugué de 3 5i − est 3 5i Nombre complexe conjugué, nombre réel et imaginaire pur

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Exemple : z = 3 – 2i est un nombre complexe Exemple : z = 3 – 2i Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique 1 -2 +3i 2 i(2-5i) 3

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Par exemple, la partie imaginaire de 3 + 2i est 2 et n'est pas 2i Définition 3 Les nombres Le conjugué du nombre z est le nombre complexe noté z défini par

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La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels Si z = a + ib où a Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z′, ( zz′ ) = zz′ Exemple Pour x 

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11- Division de deux nombres complexes 12- Nombre complexe conjugué 13- Exemples d'application en électricité : les impédances complexes

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Exemples II PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS 1 Nombre Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie

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Le conjugué d'un nombre complexe z est : ¯z = (z) − i(z) ∈ C Par exemple, 4+ 3i = √ 42 + 32 = √ 25 = 5 et 

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Exemple : On a 1−2i = 1+2i Remarque : La quantité conjugué permet de voir 1 z comme un nombre complexe lui aussi Proposition 2 : Pour z et z′ deux 

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Chap 5 :?

???Nombres complexes

I. Présentation

1) Forme algébrique

En mathématiquesla lettrei(icommeimaginaire) a une significationbien particulière:

On note

ile??nombre??tel quei2=-1. Un tel nombre n"existe pas parmi les nombres réels, c"est en quelque sorte une écriture de? -1. Définition 1 :On appellenombre complexetout??nombre??zqui s"écrit sous la formez=a+bi, oùaetbsont des nombres réels.

L"ensemble des nombres complexes se noteC.

Exemple :2i, 1-3i,?

2i,13-35i... sont des nombres complexes.

Définition 2 :Soitz=a+bi.

On appelle

partie réelledezle nombrea, il se noteRe(z).

On appelle

partie imaginairedezle nombreb, il se noteIm(z).

Remarque :On appelle cette écriturea+bila

forme algébriquedez.

2) Règles decalcul

Les règles de calcul que l"on connaît déjà restent valables pour les nombres complexes, il suffit juste d"y

ajouter :i2=-1.

Proposition 1 :Pourz=a+bietz?=a?+b?ion a :

z=z?si et seulement si?a=a? b=b?, z+z?=(a+a?)+(b+b?)i,

5z=5a+5bi,

(de même avec 2,-4 ...) z×z?=(aa?-bb?)+(ab?+a?b)i.(il suffit de faire le calcul) Exemple :Pourz=2+3ietz?=-1+4i, calculerz2=2z+3z?etz3=(z+1)(i+z).

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3) Conjugué

Définition 3 :On appelleconjuguédezle nombre notézdéfini parz=a-bi.

Exemple :On a

1-2i=1+2i.

Remarque :La quantité conjugué permet de voir1 zcomme un nombre complexe lui aussi. Proposition 2 :Pourzetz?deux nombres complexes on a : z+z?=z+z?,•zz?=z×z?,• ?1 z?? =1z?,• ?z z?? z z?.

II. Géométrie et nombres complexes

1) Point image - Affixe

On munit le plan d"un repère orthonormal?O;-→u;-→v?. Définition 4 :On appelleaffixedeM?x;y?le nombrez=x+yi.

Inversement, on peut associer au nombre complexe

z=a+bison point imageM(a;b).

On appelle

affixede-→w?x?;y??le nombrez=x?+y?i. 12 -11 2-1? O -→i -→j

•M(x+yi)

-→w x?y xy Proposition 3 :SoientM1etM2deux points du plan d"affixes respectivesz1etz2. On a alors : z

2-z1est l"affixe de-----→M1M2.

Soient

-→wet-→tdeux vecteurs d"affixesz-→wetz-→t. On a alors :

5z-→west l"affixe de 5-→w

(de même avec 2,-4 ...) z-→w+z-→test l"affixe de-→w+-→t.

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2) Module et Argument

Définition 5 :Pourzun nombre complexe de point imageMon définit : le moduledez, noté|z|, c"est la longueurOM, un argumentdez, notéarg(z) , c"est l"angle?-→u;---→OM? 1 -11 2-1? O -→i -→j •M arg(z) |z| Remarque :On constate que la donnée de|z|etarg(z) permet de placer exactement le pointMet donc que son affixezest complètement déterminée par|z|etarg(z). Proposition 4 :On a, pour tous pointsAetBdu plan d"affixeszAetzB:|zB-zA|=AB. Proposition 5 :Pour tous nombres complexeszetz?on a : •??zz???=|z|×??z???,•arg(zz?)=arg(z)+arg(z?) ,

•????z

z????? =|z|??z???,•arg?zz?? =arg(z)-arg(z?) .

3) Forme trigonométrique

Théorème-Définition:On peut toujours écrire un nombre complexezsous la forme : z=|z|?cos(θ)+isin(θ)?, avecθ=arg(z).

On appelle ceci la

forme trigonométriquedez. Il fautsavoirpasser delaformetrigonométriqueàlaformealgébriqued"unnombrecomplexeetsurtout savoir passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique,d"où : Proposition 6 :Pour tout nombre complexez=a+bion a : |z|=? z×z=?a2+b2,

•θ=arg(z) est tel que???????cos(θ)=a

|z|, sin(θ)=b |z|.

Exemple :Calculer|z|etarg(z) pourz=1+i.

-→|z|=?2et arg(z)=π4.

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