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Corollaire : les seuls complexes qui sont leurs propres conjugués sont les nombres réels En effet : ( ) Les seuls complexes dont la partie imaginaire est nulle sont
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Le conjugué de z est le nombre complexe z x iy = − Exemple Le conjugué de 3 5i − est 3 5i Nombre complexe conjugué, nombre réel et imaginaire pur
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Par exemple, la partie imaginaire de 3 + 2i est 2 et n'est pas 2i Définition 3 Les nombres Le conjugué du nombre z est le nombre complexe noté z défini par
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La forme algébrique d'un nombre complexe est a + ib où a et b sont deux réels Si z = a + ib où a Le conjugué marche bien avec tout » : Pour tout nombre complexe z et tout nombre complexe non nul z′, ( zz′ ) = zz′ Exemple Pour x
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Exemples II PROPRIETES ELEMENTAIRES - DEFINITIONS 1 Nombre Le conjugué d'un nombre complexe s'obtient en changeant le signe de sa partie
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Le conjugué d'un nombre complexe z est : ¯z = (z) − i(z) ∈ C Par exemple, 4+ 3i = √ 42 + 32 = √ 25 = 5 et
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Exemple : On a 1−2i = 1+2i Remarque : La quantité conjugué permet de voir 1 z comme un nombre complexe lui aussi Proposition 2 : Pour z et z′ deux
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Niveau : Terminale S
Pré-requis : équations du second degré dans R. Trigonométrie dans R. Vecteurs.Plan :
I.Forme algébrique d'un nombre complexe
1.Théorème et définition
2.Conjugué d'un nombre complexe
3.Représentation dans le plan complexe
4.Equations du second degré dans C
II.Forme trigonométrique d'un nombre complexe
1.Module et argument
2.Forme trigonométrique d'un nombre complexe
3.notation exponentielle de la forme trigonométrique
III.Applications
1.Applications à la trigonométrie
2.Applications à la géométrie
I. Forme algébrique d'un nombre complexe
1°) Théorème et définition
Exemple : z = 3 - 2i est un nombre complexe.
Exemple : z = 3 - 2i → 3 est la partie réelle et -2 est la partie imaginaire.Remarques :
•z est un réel si et seulement si Im(z)=0 •z est un imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0. •Comme la forme algébrique d'un nombre complexe est unique, deux nombres complexessont égaux si et seulement s'ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire. En
particulier, x+ iy = 0 ssi x=0 et y=0.Exercice:
Résoudre dans C les équations suivantes : 1. 2z+ i = 2-i2. 3z +1 -2i = 4 - 3i -2z2°) Conjugué d'un nombre complexe
a) Définition Exemple : z = 3 - 2i d'où z = 3- 2i = 3 + 2i. b) Propriétés sur le conjugué - Démonstrations des propriétés -Exercice:
Ecrire les conjugués des nombres suivants sous forme algébrique.1. -2 +3i2. i(2-5i)3. (1- i)/2i
3°) Représentation dans le plan complexe
a) Affixe d'un pointExemples :
Le point M d'affixe 3+i a pour coordonnées (3; 1). Le point N d'affixe -1 -i a pour coordonné (-1; -1). - Démonstration -Exercice:
Dans le plan complexe, on considère les points A(1-3i), B(5+2i) et C(4-4i). Déterminer l'affixe du
point D tel que ABCD soit un parallélogramme. b) affixe d'un vecteur