En intégrant on obtient arctan(x) − arctan(0) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 + x5ε2(x) Dérivation des DL Si f : I → R admet un DLn+1(0) et f est de classe Cn+1, alors f
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x tan x ∼ x→0 x Arcsin x ∼ x→0 x Arctanx ∼ x→0 x 1 − cosx ∼ x→0 x2 2 Trigonométrie hyperbolique en 0 sh x ∼ x→0 x th x ∼ x→0 x ch x − 1 ∼ x→0 x2
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Comparaison des suites en l'infini Plan du chapitre 1 Les différentes 1 1 3 Relation d'équivalence des suites n→+∞ un ou encore Arctan (un) = n→+∞
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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de sin x, arctan x = 1 1 + x2 = 1 − x2 + (x2)2 + ··· + (−1)n(x2)n + o(x2n+1) = 1 − x2 + x4 + ··· +
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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−− → x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x) x −1 −−−→ x→1 1 ln(1+ x)
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4 fév 2014 · PCSI — Année 2013-2014 — Développements limités, équivalents et applications — 4 février 2014 partir de celui de 1/(1+x) ; DL de arctan(x) une fois connu celui de 1/(1+x2) ; 2) Déterminer les asymptotes à Cf en l'infini
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Dans ce qui précède, on avait k (x) ∼ 1012f (x) ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ∼ x quand x → 0 Une
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dans l'étude de la limite en l'infini de xαex, c'est ex qui impose sa limite Ecriture On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à : (arctan) (x) =
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(c) En faisant le quotient des deux équivalents précédents, il vient : tan x ∼0 x (f) De même, la fonction x ↦→ arctan x est dérivable en 0, de dérivée égale à 1
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fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration arctan( t) ]x 0 = arctan(x) et lim x→+∞ arctan(x) = π 2 On pourra écrire : ∫ +∞ 0 1 un équivalent au voisinage de a pour étudier la convergence d'une intégrale
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En intégrant on obtient arctan(x) − arctan(0) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 + x5ε2(x) Dérivation des DL Si f : I → R admet un DLn+1(0) et f est de classe Cn+1, alors f
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Abderezak Ould Houcine, 2003-2004.
Les Développements Limités
Définition.SoitIun intervalle etf:I!Rune application. Soitx0un élément deIou une extrémité deI(exemple : siI= ]a;b[alorsx0peut être dans[a;b]). Soitnun entier naturel. On dit quefadmet undéveloppement limitéà l"ordrenenx0, en abrégéDLn(x0), s"il existe des réelsa0;;anet une fonction":I!Rtels que : pour toutx2I; f(x) =a0+a1(xx0)++an(xx0)n+(xx0)n"(x);aveclimx!x0"(x) = 0 Le polynômeP(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)nest appellé lapartie parincipaleou tout simplement ledéveloppement limitéà l"ordrenenx0def.Exemple.Comme1xn+1= (1x)(1 +x++xn), on a
1xn+11x=(1x)(1 +x++xn)1x= 1 +x++xn
d"où11x= 1 +x++xnxn+11x= 1 +x++xn+xnx1x
Donc la fonctionf(x) =11xadmet un DL au point 0 à l"ordren, avec dans ce cas"(x) =x1x. On ne cherche généralement pas à déterminer la fonction"(x).Propriétés.
(1)(Unicité d"un DL). Sifadmet unDLn(x0), alors ce développement limité est unique.Autrement dit si :
a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+ (xx0)n"1(x)
=b0+b1(xx0) ++bn(xx0)n+ (xx0)n"2(x); aveclimx!x0"1(x) = 0etlimx!x0"2(x) = 0, alorsa0=b0;a1=b1;;an=bn. (2)(Troncature d"un DL). Sifadmet un DL à l"ordrenenx0, f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+ (xx0)n"1(x) alors pour toutpn, elle admet un DL à l"ordrepenx0, obtenu par troncature, f(x) =a0+a1(xx0) ++ap(xx0)p+ (xx0)p"2(x): (3)Sifadmet un DL à l"ordrenenx0, f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+ (xx0)n"1(x) alorslimx!x0f(x)existe et finieet est égale àa0. C"est clair il suffit de calculer la limite. Ce critère sert généralement à démontrer qu"une fonction n"admet pas de DL. 1 Exemple.La fonctionln(x)n"admet pas de DL en 0, carlimx!0ln(x) =1. (4)Sifadmet un DL à l"ordrenenx0, avecn1, f(x) =a0+a1(xx0) ++an(xx0)n+ (xx0)n"1(x)alorsfest dérivable enx0, si elle est définie enx0, (sinon, c"est le prolongement par continuité de
fenx0), et la dérivée defenx0esta1. (5)Le DL à l"ordrenen 0 d"un polynômeP(x)de degrénest lui même. Attention.En revanche sifadmet un DL à l"ordre2enx0,f(ou son prolongement) n"est pas forcement deux fois dérivable enx0, contre exemplef(x) =x3sin(1x )au point0. Importance des développements limités à l"origine Critère.fadmet un développement limité à l"ordrenenx0si et seulement si la fonctiong définie parg(h) =f(x0+h)admet un développement limité à l"ordrenen 0. Plus précésiment, sia0+a1h++anhnest le DL degen0, alorsa0+a1(xx0)++an(xx0)n est le DL defenx0. En pratique.Si je veux calculer le DL defà l"ordrenenx0, je calcule le DL deg(h) =f(x0+h) à l"ordrenen 0, ensuite je remplace dans le DL trouvéhpar(xx0). Exemple.Calculons leDLde la fonctionf(x) = cosxà l"ordre 3 au point2 . On considère la fonction g(h) = cos(2 +h)et on calcule son DL à l"ordre 3 au point 0.On sait quecos(2
+h) = cos(2 ):cos(h)sin(2 ):sin(h) =sin(h). On a sin(h) =h+h36 +h3"1(h);au voisinage de0:Maintenant on remplacehpar(x2
)et on trouve le DL def(x) = cosxà l"ordre 3 au point2 cos(x) =(x2 ) +16 (x2 )3+ (x2 )3"2(x); avec"2(x) ="1(x2 ). On a bien sûrlimx!=2"2(x) = 0. Etant donné que le calcul des DL à un pointx0se ramène au calcul des DL au point 0 on secontentera dans la suite à considérer seulement les DL à l"origine 0.Opérations sur les Développements limités
Somme des DL.Sifadmet unDLn(0),
f(x) =a0+a1x++anxn+xn"1(x); etgadmet unDLn(0), g(x) =b0+b1x++bnxn+xn"2(x); alorsf+gadmet unDLn(0), qui est donné par la somme des deux DL : (f+g)(x) =f(x) +g(x) = (a0+b0) + (a1+b1)x++ (an+bn)xn+xn"(x) 2Produit des DL.Sifadmet unDLn(0),
f(x) =a0+a1x++anxn+xn"1(x); etgadmet unDLn(0), g(x) =b0+b1x++bnxn+xn"2(x); alorsf:gadmet unDLn(0), obtenu en ne conservant que les monômes de degréndans le produit (a0+a1x++anxn)(b0+b1x++bnxn): Exemple.Calculons leDLde la fonctionf(x) = cosx:sinxà l"ordre 5 au point0. On a : sinx=xx36 +x5120 +x5"1(x);cosx= 1x22 +x424 +x5"2(x):On calcule le produit
(xx36 +x5120 )(1x22 +x424 en ne gardant que les monômes de degré5, (xx36 +x5120 )(1x22 +x424 ) =xx:x22 +x:x424 x36 +x36 :x22 ++x5120Donc on a
f(x) = cosx:sinx=x(23 )x3+ (124 +112+1120
)x5+x5"(x):
Quotient des DL.Sifadmet unDLn(0),
f(x) =a0+a1x++anxn+xn"1(x); etgadmet unDLn(0), g(x) =b0+b1x++bnxn+xn"2(x); aveclimx!0g(x)6= 0, (autrement ditb06= 0), alorsfg admet unDLn(0), obtenu par la devision selon les puissances croissantes à l"ordrendu polynômea0+a1x++anxnpar le polynôme b0+b1x++bnxn.
Exemple.Calculons leDLde la fonctionf(x) = sinx=cosxà l"ordre 3 au point0. Commelimx!0cosx6= 0, on peut appliquer le critère précédent. On a sinx=xx36 +x3"1(x);cosx= 1x22 +x3"2(x): Appliquons la division selon les puissances croissantes : x16 x3112 x2x12 x3x33x+13
x3Par conséquent,
sinxcosx=x+13 x3+x3"(x). Attention.Le critère précédent dit tout simplement que silimx!0g(x)6= 0, alorsfg admet unDLn(0)et il ne nous dit pas silimx!0g(x) = 0, alorsfg n"admet pas unDLn(0)!! Il se peut quelimx!0g(x) = 0, avecfg admet unDLn(0).Exemple.La fonctionsinxx
admet un DL d"ordre 3 en 0, alors quelimx!0x= 0. 3Traitement du caslimx!0g(x) = 0.
(1).limx!0f(x)6= 0. Dans ce cas,f=gn"admet pas deDLn(0), carlimx!0f(x)g(x)=1. (2).limx!0f(x) = 0. Dans ce cas le DL defest de la forme f(x) =apxp++anxn+xn"1(x); et celui degde la forme g(x) =bqxq++bnxn+xn"2(x); avecap6= 0etbq6= 0.On traite le quotientf=gselon les valeurs depetq.
p < q. Alors fg =apxp++anxn+xn"1(x)b qxq++bnxn+xn"2(x)= ap++anxnp+xnp"1(x)b qxqp++bnxnp+xnp"2(x): Commeqp >0, etap6= 0, on alimx!0f(x)g(x)=1et par conséquentf=gn"admet pas de DL n(0). pq. Alors fg =apxp++anxn+xn"1(x)b qxq++bnxn+xn"2(x)= apxpq++anxnq+xnq"1(x)b q++bnxnq+xnq"2(x):Dans ce cas on est raméné au cas oùlimx!0g(x)6= 0. Donc pour calculer le DL def=gà l"ordre
nau point0, on calcule le DL defestgàl"ordren+q, et ensuite on utilise la méthode de la division selon les puissances croissantes.Example.Calculons le DL deln(1 +x)sinxà l"ordre 3 en 0. Il faut déterminerqtel quebq6= 0dans le DL
desinx. On a sinx=xx33! +x55! +x5"(x): Par conséquent le premier coefficient non-nul estb1. Doncq= 1. On doit calculer leDLdeln(1 +x) etsinxà l"ordre3 +q= 4. On a sinx=xx33! +x4"1(x);ln(1 +x) =xx22 +x33 x44 +x4"2(x): Donc ln(1 +x)sinx=1x2 +x23 x34 +x3"2(x)1x23! +x3"1(x): Par conséquent on a un DL d"ordre3en haut et en bas et aveclimx!x0g1(x)6= 0, oùg1(x) = 1x23! x