[PDF] A — Développements limités et équivalents - Lycée Jean Bart PDF c1r62-C14_Cours_Exos_DL

4 fév 2014 · PCSI — Année 2013-2014 — Développements limités, équivalents et applications — 4 février 2014 partir de celui de 1/(1+x) ; DL de arctan(x) une fois connu celui de 1/(1+x2) ; 2) Déterminer les asymptotes à Cf en l'infini

x tan x ∼ x→0 x Arcsin x ∼ x→0 x Arctanx ∼ x→0 x 1 − cosx ∼ x→0 x2 2 Trigonométrie hyperbolique en 0 sh x ∼ x→0 x th x ∼ x→0 x ch x − 1 ∼ x→0 x2

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Comparaison des suites en l'infini Plan du chapitre 1 Les différentes 1 1 3 Relation d'équivalence des suites n→+∞ un ou encore Arctan (un) = n→+∞

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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de sin x, arctan x = 1 1 + x2 = 1 − x2 + (x2)2 + ··· + (−1)n(x2)n + o(x2n+1) = 1 − x2 + x4 + ··· +

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FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−− → x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x) x −1 −−−→ x→1 1 ln(1+ x)

[PDF] A — Développements limités et équivalents - Lycée Jean Bart

[PDF] Chapter 1 Limites et Equivalents - PédagoTech de Toulouse INP

Dans ce qui précède, on avait k (x) ∼ 1012f (x) ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ∼ x quand x → 0 Une

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dans l'étude de la limite en l'infini de xαex, c'est ex qui impose sa limite Ecriture On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à : (arctan) (x) =

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(c) En faisant le quotient des deux équivalents précédents, il vient : tan x ∼0 x (f) De même, la fonction x ↦→ arctan x est dérivable en 0, de dérivée égale à 1

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fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration arctan( t) ]x 0 = arctan(x) et lim x→+∞ arctan(x) = π 2 On pourra écrire : ∫ +∞ 0 1 un équivalent au voisinage de a pour étudier la convergence d'une intégrale

[PDF] Les Développements Limités

En intégrant on obtient arctan(x) − arctan(0) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 + x5ε2(x) Dérivation des DL Si f : I → R admet un DLn+1(0) et f est de classe Cn+1, alors f

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Lycée Jean Bart - PCSI - Année 2013-2014 - 4 février 2014

Table des matières

A - Développements limités et équivalents : points essentiels 2

1. Généralités

2. Le point de départ : Formule de Taylor

3. Développements limités et opérations usuelles

4. Formulaire des développements limités et équivalents usuels

3 B - Applications des développements limités (exemples) 5

5. Calcul de limite

6. Equation de tangente et position relative (locale)

7. Recherche d"un équivalent

5 Intermède : calculer un développement limité avec Maxima 5

D - Exercices

8. Calculs de développements limités

9. Développements limités et limites

10. Développements limités et équivalents

11. Applications aux fonctions

12. Hors-catégorie

13. Extraits de concours

14. Réponses de l"exercice 1

2PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 2014

A - Développements limités et équivalents : points essentiels

1.Généralités

Définition. Soientf:I-→Rune fonction définie sur un intervalle ouvert non-vide et à valeurs réelles,aun élément

deIetnun entier naturel. La fonctionfadmet un développement limité à l"ordrenenas"il existe :

ã(n+ 1)scalairesa0,a1...,an,

ãune fonctionε:I-→Raveclimx-→aε(x) = 0, tels que :∀x∈I, f(x) =[ n∑ k=0a k(x-a)k] + (x-a)nε(x)

Exemple def:x7-→1

1-xtraité en classe au début du chapitre.

Propriété(unicité du DL). Sifadmet un développement limité à l"ordrenena, alors celui-ci est unique.

2.Le point de départ : Formule de Taylor

Le point-clef est évidemment la formule de Taylor-Young, qui fait le lien entre le développement limité d"une fonction et

ses dérivées successives.

Théorème(FORMULE DE TAYLOR-YOUNG): sif∈Cn(I,R)eta∈I, alorsfadmet un DL à l"ordrenena,

explicitement : ∀x∈I, f(x) =[ n∑ k=0f (k)(a) k!(x-a)k] +o((x-a)n) Réciproque fausse !La fonctionf:x∈R∗7-→1+x+x2+x3sin(1 x prolongée par continuité en posantf(0) = 1

admet un développement limité à l"ordre2en0, mais n"est pas de classeC2en0, carf′′(0)n"existe pas.

La formule de Taylor-Young permet donc d"obtenir les DL des fonctions dont on connaît bien les dérivées successives :

exponentielle etx7→1/(1-x)notamment.

Propriété(DL et parité) : sif∈Cn(I,R)est paire (resp.impaire) alors la partie régulière du développement limité de

fen0ne contient que des termes de degré pair (resp.impair).

Exemples

d"illustration :∀x∈R,cosx= 1-x2 2 +x4 24
- ···+ (-1)nx2n (2n)!+o(x2n+1) et :∀x∈R,sinx=x-x3 6 +x5 120
- ···+ (-1)nx2n+1 (2n+ 1)!+o(x2n+2)

3.Développements limités et opérations usuelles

Propriété(DL et multiplication par un scalaire) : Soitλun réel. Sifadmet un développement limité à l"ordren, alors

λfadmet un développement limité à l"ordrenobtenu multipliant la partie régulière parλ.

Propriété(DL et somme) : Sifetgadmettent un développement limité au même ordren, alorsf+gadmet un

développement limité à l"ordrenobtenu en ajoutant terme à terme les DL defetg.

Exemples

d"application : DL de ch et de sh une fois connus ceux de e xet e-x.

Propriété(DL et produit) : Sifetgadmettent un développement limité au même ordren, alors la fonctionfgadmet

un développement limité à l"ordren, dont la partie régulière est le produit des parties régulières des DL defet deg,

tronqué à l"ordren.

Exemples

d"application : questions 1, 3, 5, 14, 15 de l"exercice 1.

Propriété(DL et intégration) : Sifadmet un développement limité à l"ordrenena, la primitiveFdefs"annulant en

aadmet un DL à l"ordren+ 1enaobtenu en primitivant terme à terme la partie régulière du développement limité de

Exemples

d"application : DL deln(1+x)à partir de celui de1/(1+x); DL de arctan(x)une fois connu celui de1/(1+x2);

exercice 3; exercice 8; exercice 30.

PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 20143Propriété(DL et dérivation) : Sifadmet un développement limité à l"ordrenena, alorsf′admet un DL à l"ordre

n-1enaobtenu en dérivant terme à terme la partie régulière du développement limité def.

Exemples

d"application : DL de1/cos2xune fois connu celui detanx; exercice 4.

Propriété(DL et composition) : Sifadmet

0 un développement limité à l"ordren, et siuadmet

0 un DL à l"ordre

net tend vers0quandxtend vers0, alors la fonctionf◦uadmet un développement limité à l"ordren, dont la partie

régulière est obtenue en remplaçant dans le DL defles "x" par la partie régulière du DL deu, et en tronquant à l"ordre

Exemples

d"application : DL de e x3, de esinx; questions 2, 4, 14, 16, 21... de l"exercice 1; exercice 32.

4.Formulaire des développements limités et équivalents usuels

"Les Fondamentaux" e x=[ n∑ k=0x k k!] +o(xn) = 1 +x+x2 2 +x3 6 +···+xn n!+o(xn) ch(x) =[ n∑ k=0x 2k (2k)!] +o(x2n+1) = 1 + x2 2 +x4 24
+···+x2n (2n)!+o(x2n+1) sh(x) =[ n∑ k=0x 2k+1 (2k+ 1)!] +o(x2n+2) =x+x3 6 +x5 120
+···+x2n+1 (2n+ 1)!+o(x2n+2) cos(x) =[ n∑ k=0(-1)kx2k (2k)!] +o(x2n+1) = 1-x2 2 +x4 24
- ···+ (-1)nx2n (2n)!+o(x2n+1) sin(x) =[ n∑ k=0(-1)kx2k+1 (2k+ 1)!] +o(x2n+2) =x-x3 6 +x5 120
- ···+ (-1)nx2n+1 (2n+ 1)!+o(x2n+2) 1 1-x=[ n∑ k=0x k] +o(xn) = 1 +x+x2+···+xn+o(xn) ln(1 +x) =[ n∑ k=1(-1)k+1xk k +o(xn) =x-x2 2 +x3 3 - ···+ (-1)n+1xn n +o(xn) (1 +x)= 1 + n i=0(α-i) k!xk +o(xn) = 1 +αx+α(α-1) 2 x2+α(α-1)(α-2) 6 x3+···

α(α-1)···(α-n+ 1)

n!xn+o(xn) "Conséquences des Fondamentaux" tan(x) =x+x3 3 +2x5 15 +17x7 315
+62x9
2835
+o(x10) (par quotient à partir des DL de sin et de cos) (x) =x-x3 3 +2x5 15 -17x7 315
+62x9
2835
+o(x10) (par quotient à partir des DL de sh et de ch) arctan(x) =[ n∑ k=0(-1)kx2k+1

2k+ 1]

+o(x2n+2) =x-x3 3 +x5 5 - ···+ (-1)nx2n+1

2n+ 1+o(x2n+2)

(primitivation du DL de1/(1 +x2)) arcsin(x) =x+x3 6 +3x5 40
+5x7 112
+35x9
1152
+o(x10) (DL de (1-x2)-1=2, puis primitivation) arccos(x) =π 2 -x-x3 6 -3x5 40
-5x7 112
-35x9 1152
+o(x10) (utilisation de l"identité :arccos(x) =π 2 -arcsin(x))

4PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 2014Exemples de cas particuliers fréquents"

e -x=[ n∑ k=0(-1)kxk k!] +o(xn) = 1-x+x2 2 -x3 6 +···+ (-1)nxn n!+o(xn) (changement de variablex7-→ -xdans le DL deex)

1 +x= 1 +x

2 -x2 8 +x3 16 +o(x3) (cas particulier du DL de(1 +x)avecα= 1/2) Exemples de développements asymptotiques ("DL au voisinage de+∞") e 1 x n∑ k=01 k!xk] +o(1 x n) = 1 + 1 x +1 2x2+1

6x3+···+1

n!xn+o(1 x n) sin (1 x n∑ k=0(-1)k1 (2k+ 1)!x2k+1] +o(1 x 2n+2) 1 x -1 6x3+1

120x5-···+(-1)n1

(2n+ 1)!x2n+1+o(1 x 2n+2) ln 1 +1 x n∑ k=1(-1)k+11 kx k] +o(1 x n) 1 x -1 2x2+1

3x3- ···+ (-1)n+11

nx n+o(1 x n) 1 +1 x = 1 + n i=0(α-i) k!xk +o(1 x n) = 1 + x +α(α-1)

2x2+α(α-1)(α-2)

6x3+···

α(α-1)···(α-n+ 1)

n!xn+o(1 x n)

Quelques équivalents usuels

e 1 n -1∼+∞1 n sh (1 n +∞1 n sin (1 n +∞1 n ln 1 +1 n +∞1 n tan (1 n +∞1 n 1 n +∞1 n arctan (1 n +∞1 n arcsin (1 n +∞1 n arccos (1 n 2 ∼+∞1 n cos (1 n -1∼+∞-1 2n2 ch (1 n -1∼+∞1 2n2 1 +1 n -1∼+∞α n 1 + 1 n ∼+∞1 +1 2n Formules obtenues à l"aide du changement de variablex7!1 x y.

Extrêmement utiles dans les problèmes faisant intervenir les suites et les séries. C"est ce qui justifie l"écriture de ces équivalents avec1=n

(ntendant vers+1) plutôt qu"avec unxtendant vers0. Mais évidemment, toutes ces formules peuvent être adaptées à la seconde situation,

c"est-à-dire par exemple : e x10xou encoresinx0x,etc...

PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 20145

B - Applications des développements limités (exemples)

5.Calcul de limite

1 +x-1

1 +x= 1 +x

2 1+x-1 x =1 2 +ϵ(x)

1 +x-1

x =1 2

6.Equation de tangente et position relative (locale)

L"équation de la tangente peut être obtenue par la partie affine du DL d"une fonction, et la position relative LOCALE

de la courbe par rapport à la tangente est donnée par le premier terme du DL suivant cette partie affine.

Par exemple :∀x∈R,ex= 1 +x+x2

2 +o(x2). L"équation de la tangente à la courbe représentative de exp au point d"abscisse0esty= 1+x. Au voisinage de0, la courbe est située au-dessus de la tangente, puisquex2 2 est toujours positif.

7.Recherche d"un équivalent

Deux fonctions (ou suites) sont équivalentes lorsque leur quotient a pour limite 1. On obtient des équivalents à l"aide des DL de la façon suivante : nquotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

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Table des matières

1. Généralités

2. Le point de départ : Formule de Taylor

3. Développements limités et opérations usuelles

4. Formulaire des développements limités et équivalents usuels

5. Calcul de limite

6. Equation de tangente et position relative (locale)

7. Recherche d"un équivalent

D - Exercices

8. Calculs de développements limités

9. Développements limités et limites

10. Développements limités et équivalents

11. Applications aux fonctions

12. Hors-catégorie

13. Extraits de concours

14. Réponses de l"exercice 1

2PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 2014

1.Généralités

ã(n+ 1)scalairesa0,a1...,an,

Exemple def:x7-→1

1-xtraité en classe au début du chapitre.

2.Le point de départ : Formule de Taylor

Exemples

3.Développements limités et opérations usuelles

Exemples

Exemples

Exemples

Exemples

Propriété(DL et composition) : Sifadmet

0 un développement limité à l"ordren, et siuadmet

0 un DL à l"ordre

Exemples

4.Formulaire des développements limités et équivalents usuels

α(α-1)···(α-n+ 1)

2k+ 1]

2n+ 1+o(x2n+2)

4PCSI - Année 2013-2014 - Développements limités, équivalents et applications - 4 février 2014Exemples de cas particuliers fréquents"

1 +x= 1 +x

6x3+···+1

120x5-···+(-1)n1

3x3- ···+ (-1)n+11

2x2+α(α-1)(α-2)

6x3+···

α(α-1)···(α-n+ 1)

Quelques équivalents usuels

5.Calcul de limite

1 +x-1

1 +x= 1 +x

1 +x-1

6.Equation de tangente et position relative (locale)

Par exemple :∀x∈R,ex= 1 +x+x2

7.Recherche d"un équivalent