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x tan x ∼ x→0 x Arcsin x ∼ x→0 x Arctanx ∼ x→0 x 1 − cosx ∼ x→0 x2 2 Trigonométrie hyperbolique en 0 sh x ∼ x→0 x th x ∼ x→0 x ch x − 1 ∼ x→0 x2

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Comparaison des suites en l'infini Plan du chapitre 1 Les différentes 1 1 3 Relation d'équivalence des suites n→+∞ un ou encore Arctan (un) = n→+∞

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On dit f admet un développement limité à l'ordre n au voisinage de l'infini On reconnaît ainsi sans difficulté les équivalents usuels en 0 de sin x, arctan x = 1 1 + x2 = 1 − x2 + (x2)2 + ··· + (−1)n(x2)n + o(x2n+1) = 1 − x2 + x4 + ··· + 

[PDF] FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

FICHE : LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS Limites usuelles lnx x −−−−− → x→+∞ 0 x lnx −−−−−→ x→0+ 0 ln(x) x −1 −−−→ x→1 1 ln(1+ x)

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4 fév 2014 · PCSI — Année 2013-2014 — Développements limités, équivalents et applications — 4 février 2014 partir de celui de 1/(1+x) ; DL de arctan(x) une fois connu celui de 1/(1+x2) ; 2) Déterminer les asymptotes à Cf en l'infini

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Dans ce qui précède, on avait k (x) ∼ 1012f (x) ce qui traduit l'idée, qu'à un facteur près, le comportement à l'infini est le même 1 2 sinx ∼ x quand x → 0 Une 

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dans l'étude de la limite en l'infini de xαex, c'est ex qui impose sa limite Ecriture On peut aussi trouver le DL en 0 de arctan et de arcsin grâce à : (arctan) (x) = 

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(c) En faisant le quotient des deux équivalents précédents, il vient : tan x ∼0 x (f) De même, la fonction x ↦→ arctan x est dérivable en 0, de dérivée égale à 1 

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fonctions ayant une limite infinie en un point de l'intervalle d'intégration arctan( t) ]x 0 = arctan(x) et lim x→+∞ arctan(x) = π 2 On pourra écrire : ∫ +∞ 0 1 un équivalent au voisinage de a pour étudier la convergence d'une intégrale

[PDF] Les Développements Limités

En intégrant on obtient arctan(x) − arctan(0) = x − 1 3 x3 + 1 5 x5 + x5ε2(x) Dérivation des DL Si f : I → R admet un DLn+1(0) et f est de classe Cn+1, alors f

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Lycée Blaise PascalTSI 1 année

FICHE: LIMITES ET ÉQUIVALENTS USUELS

Limites usuelles

lnxx-----→x→+∞0 xlnx-----→ x→0+0 ln(x)x-1---→x→11 ln(1+x) x---→x→01 exx-----→x→+∞+∞ xex-----→x→-∞0 ex-1 x---→x→01

De manière plus générale

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: •En0et-∞: xα|lnx|β---→x→00et |x|αeγx-----→x→-∞0

Suite géométrique

0sia?]-1,1[

1sia=1

+∞sia?]1,+∞[Comparaison des suites de référence

Soienta>1,α>0etβ>0alors :

(lnn)α=on→+∞? nβ? nβ=on→+∞?an? an=on→+∞(n!)

Équivalents classiques pour les suites

Siun------→n→+∞0alors :

sinun≂n→+∞un tanun≂n→+∞un [1-cosun]≂n→+∞u 2n 2 ln(1+un)≂n→+∞un ?eun-1?≂n→+∞un

Comparaison des fonctions usuelles

Soientα,βetγdesréels strictement positifs •En+∞: (lnx)α=ox→+∞? xβ? et xβ=ox→+∞?eγx? •En0et-∞: |lnx|β=ox→0? 1 xα? et eγx=ox→-∞? 1 |x|α?

Équivalents classiques pour les fonctions en0

ln(1+x)≂x→0x ex-1≂x→0x sinx≂x→0x tanx≂x→0x shx≂x→0x thx≂x→0x arcsinx≂x→0x arctanx≂x→0x argshx≂x→0x argthx≂x→0x cosx-1≂x→0-x2 2 chx-1≂x→0x 2 2 (1+x)α-1≂x→0αx(α?R)

De manière plus générale

Sif(x)----→x→a0alors :

ln?1+f(x)?≂x→af(x) sin?f(x)?≂x→af(x) tan?f(x)?≂x→af(x) cos?f(x)?-1≂x→a-?f(x)?2 2 ef(x)-1≂x→af(x) ?1+f(x)?α-1≂x→aαf(x) (α?R)quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45