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Proposition 3 6 Un polynôme non nul de degré n de K[X] a au plus n racines an1est l'opposé de la somme des racines et (1)na0 est le produit des racines

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7 fév 2014 · Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)), Un polynôme de degré n admet au maximum n racines distinctes

[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Utilisation : L'équation x2 −5x +6 a deux racines distinctes car son discriminant est strictement positif (∆ = 1) Sans calculer ses racines, on sait que leur somme  

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Définition (Polynôme à une indéterminée à coefficients dans ) On appelle ( somme des racines) et λ1λ2 = a0 a2 (produit des racines) • Polynômes de degré 3 

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Enfin on passera aux relations coefficients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par exemple: calculer une somme de tangente, 

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Par exemple, les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e 2iπ 3 et j2 = j Exercice 1 8 Résoudre z3 = 4 √ 2+4i √ 2 Exercice 1 9 Montrer que la somme des n 

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Lemme L'ensemble des fonctions polynômes est stable par somme, produit et donc Intérêt de la notion : pouvoir caractériser la multiplicité d'une racine ; avoir  

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3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C Somme et produit des racines Factorisation sur R Théorème de Rolle et polynômes

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Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en Proposition 3 24 Un polynôme qui admet strictement plus de racines que son degré 

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des racines ; formules de Newton Nouvelles la somme des racines, la somme de leurs carrés, etc polynôme homogène de degré p, par rapport aux ra-

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Chapitre3

Racinesd'unpolynˆom e

3.1Fonction polynˆome

D´efinition3.1SoitA=a

0 +a 1

X+···+a

n X n unp olynˆomedeK[X].Onappellefonction polynˆomeassoci´ee`aAl'application A:K!Kqui`ato utxdeKfaitcorre spondrel'´el´ement

A(x)=a

0 +a 1 x+···+a n x n deK. Remarque.Commeonleverra plu sloin, laconfusionentreu npolynˆomeets afonction polynˆomeassoci´een'a,dan slecaso`ulecorpsKestinfini(etdoncenp articulier lorsqu eK=R ouC)pas decons´ equenc efˆacheuse.Danslapratique,onconfondra doncsouventAet A. C'estparcontretout autrec hoselorsqueKestuncorps fini.Par exemple,siK=Z/2Z,le polynˆomeA=X+X 2 n'estpasnul(tous sescoe cientsnesontpasnuls )etpour tantlafonc tion polynˆomeassoci´eex7!x+x 2 estlafonc tionnul le...

Proposition3.2Soient(A,B)2(K[X])

2 et2K.Ona• A+B= e A+ e

Bet•

g AB= e A e B. D´emonstration:Celar´esulte demani`ereimm´ediatedesd´ efiniti onsdesop´erationssurles

Sch´emadeH¨orner

Gardonslesnotations pr´ec´ede ntesete

ectuonslecalculdeA(a)pou runcertain a2K.

Leco ˆutenmultiplicat ionsdu calculdea

0 +a 1 a+···+a n a n parlam´ ethod e"naturelle»est den1mu ltiplicationspourcalculerlespuissancesa 2 ,···,a n ,plusnmultiplicationspour calculerlestermesa 1 a,···,a n a n ,soi tautotal2n1.Les ch ´emadeH¨ornerconsiste `acalculer successivement p n =a n a n p n1 =(a n1 +p n )a=a n1 a+a n a 2 p 2 =(a 2 +p 3 )a=a 2 a+a 3 a 2 +···+a n a n1 p 1 =(a 1 +p 2 )a=a 1 a+···+a n a n etenfin A(a)=a 0 +p 1 ,ce quifai tseulemen tnmultiplications. Th´eor`eme3.3(FormuledeTaylor) Onsuppose lecorpsKdecar act´eristiquenulle 1 .Pour toutpolynˆ omeA= n X k=0 a k X k ett outscalair eadeK,ona:A(X)= n X k=0 A (k) (a) k! (Xa) k

1.Cett ehypoth`esen'es tl`aquepourgarantirquel'onpuissedivi serparlesk!.Q,RetCsontdescorpsde

caract´eristiquenulle. 17

18CHAPITRE3.RACINESD'UNP OLYN

OME

D´emonstration:

EcrivonsA(X)=

n X k=0 a k (Xa+a) k .Siond´ eve loppechaqueterme(Xa+a) k parlaf ormuled ubinˆome(Xa+a) k k X i=0 k i a ki (Xa) i ,onobt ient,enr´eordonnantsuiv ant lespuissa ncesde(Xa), A(X)= n X k=0 b k (Xa) k avecdesc oe cientsb k quel'onva explicite rautrem ent. OnaA (0) (a)=A( a)=b 0 et,pour`2[[1,n]],parlin´ earit´e delad´erivation`al'ordre` A (X)= n X k=0 b k (Xa) k `1 Xquotesdbs_dbs11.pdfusesText_17