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[PDF] Racines dun polynôme

Proposition 3 6 Un polynôme non nul de degré n de K[X] a au plus n racines an1est l'opposé de la somme des racines et (1)na0 est le produit des racines

[PDF] Polynômes - Normale Sup

7 fév 2014 · Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)), Un polynôme de degré n admet au maximum n racines distinctes

[PDF] Relations entre racines et coefficients dun polynôme du second degré

Utilisation : L'équation x2 −5x +6 a deux racines distinctes car son discriminant est strictement positif (∆ = 1) Sans calculer ses racines, on sait que leur somme  

[PDF] POLYNÔMES - Christophe Bertault

Définition (Polynôme à une indéterminée à coefficients dans ) On appelle ( somme des racines) et λ1λ2 = a0 a2 (produit des racines) • Polynômes de degré 3 

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Enfin on passera aux relations coefficients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par exemple: calculer une somme de tangente, 

[PDF] Cours de Mathématiques : Polynômes et Suites - Université de

Par exemple, les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e 2iπ 3 et j2 = j Exercice 1 8 Résoudre z3 = 4 √ 2+4i √ 2 Exercice 1 9 Montrer que la somme des n 

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Lemme L'ensemble des fonctions polynômes est stable par somme, produit et donc Intérêt de la notion : pouvoir caractériser la multiplicité d'une racine ; avoir  

[PDF] Compléments sur les polynômes Formule de Taylor

3 Racines multiples et caractérisation 4 Factorisation Factorisation sur C Somme et produit des racines Factorisation sur R Théorème de Rolle et polynômes

[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse

Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en Proposition 3 24 Un polynôme qui admet strictement plus de racines que son degré 

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des racines ; formules de Newton Nouvelles la somme des racines, la somme de leurs carrés, etc polynôme homogène de degré p, par rapport aux ra-

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En¯n on passera aux relations coe±cients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par

de Steiner... commencera par Q(c'est facile, il y a un nombre ¯ni de test µa faire), puis surRavec les lemmes de Rolle,

R), de Laguerre (surC)

pas de formule par radicaux; polyn^ome d'interpolation de Lagrange: partage de secret; polyn^omes orthogonaux avec les points de Gauss; n valeurs propres distinctes est un ouvert connexe de M n(C)), calcul de l'intersection de deux coniques 2). code BCH holder, telle que P par exemple par dichotomie (Ciarlet p.123).

Le lemme de Descartes.

Diverses majorations du module des racines d'un polyn^ome. 1

²Points de Gauss.

Ellipse de Steiner.

Gauss-Lucas avec application.

Transcendance de¼.

Sommes de Newton

Polyn^ome de Tchebychev: en particulier on montre que sup x2[¡1;1]jP(x)j ¸1 2 n¡1oµu 2 n¡1.

Questions

x2Q.

SoitP(X) =anXn+¢¢¢+a1X+a0un polyn^ome µa coe±cient dansZ. Montrez que sia=best une racine

rationnelle de Palorsbjanetaja0puis que pour toutm2Z, (bm¡a)jP(m).

Soient®;¯;°;±les racines complexes deX4¡2X3+aX2+bX¡1; trouveza;bpour que l'on ait®+¯=°+±

et®¯=¡°±et donnez les racines. a;b;c, forment un triangle isocµele rectangle enA, estc2+b2¡ un triangle rectangle isocµele est 27q2¡50p3= 0. racine multiple de 8< x

2+y2+z2= 2

x

3+y3+z3= 2

x

4+y4+z4= 2

Soienta1;¢¢¢;andes nombres strictement positifs; montrez que (a1¢¢¢an)1=n·a1+¢¢¢+an

n les polyn^omes µa coe±cients SoitP(X) =adXd+¢¢¢+a02C[X] avecad6= 0. Montrez que si®est une racine deP, on a j®j ·M:= sup

0·i jadj)1 d¡i SoientPetQdeux polyn^omes non constants deC[X] tels que l'ensemble des racines deP(resp.

P¡1) soit

2 t Montrez que les racines sont continues en le polyn^omes.

Montrez que l'ensemble des matrices complexe µa valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe de

l'ensemble des matrices. Calculer le discriminant du polyn^omeP(X) =X3+pX+q (i) (ii)

En calculant la suite de SturmS(P;P0).

R[X][Y], i.e. comme des polyn^omes enYµa coe±cients dansR[X]. Trouver

P= 0 etQ= 0.

SoientAetBdeux polyn^omes deK[X] oµuKest un corps. Fabriquez un polyn^ome dont les racines sont les sommes d'une racine de A(X) =B(Y¡X) = 0). Construisez un polyn^ome µa coe±cients entiers qui possµedep 2 + 3p

7 pour racine.

Exercice 1.

montrez quex2Q. (deg± (n+ 1)=2 et donc soit v Q(x)>(degQ)=2 soitvR(x)>(degR)=2 et par hypothµese

Exercice 2.

Palorsbjanetaja0puis que pour toutm2Z,

(bm¡a)jP(m). a nan(resp. a

0bn): on conclut en disant queaetbsont pris premiers entre eux.

P(X) de sorte qu'il existeQ(X) µa coe±cients entiers tel queP(X) = (bX¡a)Q(X) et donc (bm¡a) diviseP(m).

Exercice 3.

Soient®;¯;°;±les racines complexes deX4¡2X3+aX2+bX¡1; trouveza;bpour que l'on ait

®+¯=°+±et

®¯=¡°±et donnez les racines.

Preuve :On a donc

®+¯+°+±= 2 = 2(®+¯),®¯°±= 1 =¡(®¯)2de sorte que®;¯(resp.°;±) sont

les racines de X

2¡X+i(resp.X2¡X¡i). En outre on a (¯+®)(°+±) + (®¯+°+±) =¡a= 1 et

®¯(°+±) +°±(®+¯) =b= 0.

Exercice 4.

a;b;c, forment un triangle isocµele rectangle enA, estc2+b2¡ triangle rectangle isocµele est

27q2¡50p3= 0.

Preuve :Une CNS pour queABCsoit rectangle isocµele enAestb¡a=§i(c¡a), soit (b¡a)2+ (c¡a)2= 0, dans la CNS a;b;cet de les remplacer parpetq; on aa2+b2+c2= (a+b+c)2¡2p=¡2pde sorte que la CNS soita=3q

3a2= 2pdevient 27q2¡50p3= 0.

3 x

2+y2+z2= 2

x

3+y3+z3= 2

x

4+y4+z4= 2

Preuve :Les relations de Newton donnent 2 =¾21¡2¾2=¾31¡3¾2¾1+ 3¾3=¾41¡4¾2¾21+ 4¾3¾1+ 2¾22soit

1(¾31=6¡2¾1+8=3) = 0. Les

2=¡1;1;7 et¾3= 2;0;¡6. Les

triplets (x;y;z) sont alors les racines des polyn^omes X

3¡X¡2,X3¡2X2+X,X3+ 4X2+ 7X+ 6.

Exercice 6.

Soienta1;¢¢¢;andes nombres strictement positifs; montrez que(a1¢¢¢an)1=n·a1+¢¢¢+an

n tous les polyn^omes µa coe±cients lna1+¢¢¢+lnan n

·lna1+¢¢¢+an

n . On P(X) =Xn¡¾1Xn¡1+¢¢¢+(¡1)n¾n, soit (¾2n)1=n·¾21¡2¾2 n

·3=n,

soit n·3. Une inspection cas par cas donneX§1,X2§X¡1,X3+X2¡X¡1 etX3¡X2¡X+ 1.

Exercice 7.

n, on notejjPjj=janj+¢¢¢+ja0j;jj jjest une norme surCn[X]. (i)

Pourz2C, une racine deP, montrez quejzj ·jjPjj

janj. (ii) que pour tout² >0, il existek0tel que pour toutk¸k0, il y a au moins pracines dePkdans la boule de centrezet de rayon². a nzn=¡(an¡1zn¡1+¢¢¢+a0) janjjzjn·(Pn¡1 i=0jaij)jzjn¡1· jjPjj jzjn¡1et donc jzj ·jjPjj janj. jjPkj a Mtel

0 et de rayon

zet de rayon², est de cardinalp. On raisonne par l'absurde et supposons que pour toutk02N, il existek¸k0tel que le cardinal I kest peut extraire une sous-suite (PÃ(k))k2Ntelle que p·i·njz¡xÃ(k);ij ¸²

La suite

((xÃ(k);1;¢¢¢;xÃ(k);n))k2Nprend ses valeurs dans le compactKn. Quitte µa en extraire une sous-suite, on

peut supposer que pour tout

1·i·n,xÃ(k);iconverge versyi. En particulier pour tout

p·i·n,jyi¡zj ¸².

OrPÃ(k)(X) =aÃ(k);nQn

i=1(X¡xÃ(k);i) converge vers

P(X) =anQn

i=1(X¡yi) ce qui fournit la contradiction.

Exercice 8.

Montrez que l'ensemble des matrices complexe µa valeurs propres distinctes, est un ouvert connexe de

l'ensemble des matrices. A (Si en n det(P1z+ chemin qui relie P

2dansGLn(C).

n 4 Exercice 9.SoitP2Z[X],P=a0+a1X+¢¢¢+adXd, avecad6= 0,®iles racines deP. On pose: sepP= inf® i6=®jj®i¡®jj:

En posant

C=jadj+ sup1·i·d¡1jaij, montrez que pour

d¸3: sepP¸(2C)¡d(d¡1) 2 +1:

Preuve :(a) Supposons d'abord que les racines dePsont simples. On peut supposer, quitte µa changer les indices,

que sepP=j®1¡®2j. Soit D(P)2Zle discriminant deP. On a donc 1· jD(P)jpuisque les racines sont simples par hypothµese et

1· jadj2d¡2Y

i