Utilisation : L'équation x2 −5x +6 a deux racines distinctes car son discriminant est strictement positif (∆ = 1) Sans calculer ses racines, on sait que leur somme
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Proposition 3 6 Un polynôme non nul de degré n de K[X] a au plus n racines an1est l'opposé de la somme des racines et (1)na0 est le produit des racines
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7 fév 2014 · Cette somme de polynômes est associative ((P+Q)+R = P+(Q+R)), Un polynôme de degré n admet au maximum n racines distinctes
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Définition (Polynôme à une indéterminée à coefficients dans ) On appelle ( somme des racines) et λ1λ2 = a0 a2 (produit des racines) • Polynômes de degré 3
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Enfin on passera aux relations coefficients racines et aux sommes de Newton en donnant des applications par exemple: calculer une somme de tangente,
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Par exemple, les racines cubiques de l'unité sont 1, j = e 2iπ 3 et j2 = j Exercice 1 8 Résoudre z3 = 4 √ 2+4i √ 2 Exercice 1 9 Montrer que la somme des n
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Lemme L'ensemble des fonctions polynômes est stable par somme, produit et donc Intérêt de la notion : pouvoir caractériser la multiplicité d'une racine ; avoir
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Les degrés de la somme et du produit de deux polynômes s'expriment en Proposition 3 24 Un polynôme qui admet strictement plus de racines que son degré
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des racines ; formules de Newton Nouvelles la somme des racines, la somme de leurs carrés, etc polynôme homogène de degré p, par rapport aux ra-
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Relations entre racines et coefficients d"un polynôme du second degréThéorème :On considère une polynôme du second degréax2ÅbxÅc, si¢est positif, on a :
ax2ÅbxÅcAEa(x¡x1)(x¡x2)
AEa[x2¡(x1Åx2)xÅx1x2]
AEax2¡aSxÅaPoùSest la somme etPle produit des deux racines on a alors :SAE¡ba etPAEcaUtilisation :L"équationx2¡5xÅ6 a deux racines distinctes car son discriminant est strictement positif (¢AE1). Sans calculer
ses racines, on sait que leur somme vautSAE5 et que leur produit vautPAE6.Si l"on remarque que 2 est racine, alors l"égalitéPAE6 nous permet de trouver l"autre racine (c"est 3).
Dans cet exemple, on a remarqué que 2 était une racine du polynôme. On dit que c"est uneracine évidente.
Théorème :Si un polynôme à coefficients entiers (relatifs) admet comme racine un entier (relatif), alors celui-ci divise le
terme constant du polynôme.Exercice 1 :prouver ce théorème dans le cas d"un polynôme du second degré.
Exercice 2 :
1.Soitfle polynôme défini parf(x)AEx2¡3xÅ2.
Sifadmet une racine entière évidente, à quel ensemble appartient-elle nécessairement? Trouver l"une d"entre-elle et en
déduire l"autre.2.Soitgle polynôme défini parg(x)AE2x2Å5x¡3.
Sigadmet une racine entière évidente, à quel ensemble appartient-elle nécessairement? Trouver une racine évidente et
en déduire l"autre.Soientuetvdeux nombres dont le produit est P et la somme S :uvAEPetuÅvAES. Alors en multipliant la 2èmeégalité par
u, on au2ÅuvAESuqui devient, en remplaçant uv par P,u2¡SuÅPAE0. Ceci montre queuest nécessairement solution de
l"équationx2¡SxÅPAE0. On peut voir de même que c"est le cas pourv. Théorème :On considère deux nombresuetvde produitPet de sommeS.