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sin(u) u cos(u) cos(u) -u sin(u) Fonction Intervalle d'intégration Primitive (x - a) n,n ∈ N,a ∈ R R 1 n + 1 (x - a)n+1 1 x - a ,a ∈ R ] - с;a[ OU ]a;+с[ ln(x - a)
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sin(x) − cos(x) + C, C ∈ R R Primitives et opérations • Si f et g sont continues sur I et si F et G sont des primitives sur I de f et g respectivement, F + G est une
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4 mai 2012 · 1 3 + 2i exp((3 + 2i)x) = 3 − 2i 13 e3x(cos(2x) + i sin(2x)) 6 Page 8 Maths en Ligne Calcul des primitives UJF Grenoble
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29 avr 2010 · Toutes les primitives de ces tableaux s'obtiennent à partir de la u ne s'annule pas sur I f = u '×cosu F = sin u f = u '×sinu F = – cos u f = u' u
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sinp(x) cosq(x) = cosq(x)(1 − cos2(x))p′ sin(x) On fait alors le changement de variable t = cos(x) et on se ram`ene alors au calcul d'une primitive de la fonction
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Quand une fonction f s'écrit sous la forme f(x) = P(x) sin(x), o`u P est une fonction polynômiale, on calcule une primitive de f sur R par une intégration par parties
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* Dans une expression trigonomérique en sin t et cos t vraiment compliquée, essayer u = tan(t/2) (ou, pire, si l'intervalle d'étude contient des multiples impairs de π
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fonctions dérivées n'est pas nécessairement une fonction dérivée Exemple Soit f et g de R dans R définies par f(0) = g(0) = 0 et, pour x = 0, f(x) = x2 sin 1 x
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ln sin u u x u = ∫ k + , sur un intervalle ne contenant aucune racine de sin u 2 Formules de linéarisation : primitives de polynômes trigonométriques
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−sin(x) Par lecture inverse de ce tableau, on peut donner le tableau des primitives de certaines fonctions usuelles : La fonction définie par f(x) = admet une
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Chapitre 3
CALCUL DE PRIMITIVES
3.1 D´efinition
D´efinition:soitfune fonction d´efinie sur un intervalleI. Une primitive defsurIest une fonctionFd´erivable surIet telle que, pour tout r´eelxdeI,F (x)=f(x). Th´eor`eme 12Toute fonction continue sur un intervalleIadmet des primitives surI,deux d"entre elles diff´erant d"une constante.Il est important de bien connaıtre les primitives de fonctions usuelles : on s"y ram`ene toujours.
La table ci-dessous ne pr´ecise pas les intervalles sur lesquels on consid`ere les fonctions. On utilisera la notation usuelle? f(x)dxpour d´esigner une primitive de la fonctionf(x). Il fautbien voir qu"elle cache une ambig¨uit´e, puisque qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante
pr`es sur un intervalle. Syst´ematiquement, quand on ´ecrit des ´egalit´es entre primitives, on
oubliera ces "constantes d"int´egration". Il faut se souvenir que c"est unabus de notation.Primitives de fonctions usuelles
f(x) f(x)dxf(x) f(x)dx x (α?R,α?=-1) xα+1
α+1
x ln|x| eλx1
λe λx a x (a>0,a?=1)- b,aa x cosωx 1ωsinωx
sinωx -1ωcosωx
chx shxshxchx 1 -.x 2Arctanx
1a 2 +x 2 1 aArctanxa 1 1-x 2Arcsinx
1 fF,x ln|tanx 2| 1 eIfx ln tan x2+π4
1 eIf 2 x= 1 + tan 2 xtanx 1 fF, 2 x -1 x<,x1 e( 2 x=1-th 2 xthx 1 f( 2 x-1 x(x 1 x 2 -1 b, x+⎷x 2 -1Argchxpourx>1
-Argch (-x) pourx<-1 1 1+x 2 ln(x+⎷x 2 + 1) = Argshx Soientaetbdeux r´eels d"un intervalleI,etfune fonction continue surI. L"int´egrale dea`ab def, not´ee b a f(x)dx, est le r´eelF(b)-F(a)o`uFest une primitive quelconque defsurI. 153.2Lin´earit´e
C"est l"utilisation de
(λf(x)+μg(x))dx=λ f(x)dx+μ g(x)dx.On a toujours int´eret `ad´ecomposer la fonction `a int´egrer en somme de fonctions plus simples `a
int´egrer. Par exemple, sin2xcos3xdx= 11nfF,4x-sinx)dx=11
sin5xdx-1 1 sinxdx =-1 -/eIf4x+11eIfx.La premi`ere ´egalit´e utilise sinacosb=
1 F (sin(a+b) + sin(a-b)).3.3 Int´egration par parties
C"est l"utilisation de?
f(x)g (x)dx=f(x)g(x)- f (x)g(x)dx. On suppose dans cette formule quefetgsont de classeC 1 sur l"intervalle ouvert consid´er´e. La formule vient simplement par int´egration defg =(fg) -f g.Pour l"utilisation de cette formule, il faut reconnaıtre dans la fonction `a int´egrer le morceau
fet le morceaug , dont on connait une primitiveg. C"est utile quandf gest "plus simple" que fg . Par exemple, xlnxdx=x 2 2lnx- x 221xdx=x
2 2lnx- x 2dx x 22lnx-x
2 4.L"int´egration par parties, meme quand elle semble "tourner en rond", peut permettre d"obtenir
des relations d´eterminant la primitive. Par exemple e x sin2xdx=e x sin2x-2 e x cos2xdx =e x sin2x-2e x cos2x-4 e x sin2xdx, d"o`u e x sin2xdx=1 4ne x sin2x-2e x cos2x).Mais ¸ca ne marche pas `a tous les coups :
e x chxdx=e x chx- e x shxdx =e x chx-e x shx+ e x chxdx=1+ e x chxdx, d"o`u semble-t-il 0 = 1. Expliquer ce paradoxe (se souvenir qu"une primitive n"est d´efinie qu"`a une constante pr`es!), et trouver une autre m´ethode pour calculer la primitive. Pour un calcul d"int´egrale, la formule d"int´egration par partie devient b a f(x)g (x)dx=[f(x)g(x)] ba b a f (x)g(x)dx. 163.4 Changement de variables
Proposition :Soitfune fonction continue sur l"intervalle ouvertJ, et soit?une fonction de classeC 1 sur un intervalle ouvertIet `a valeurs dansJ.SiF(x)= f(x)dx, alorsF(?(t)) =
f(?(t))? (t)dt.D´emonstration :La formule vient par int´egration de la formule de d´erivation des fonctions
compos´ees : (F◦?) =(F =(f◦?)? Pour mener les calculs, si on posex=?(t), il est commode d"´ecriredx=? (t)dt. On ne saitpas donner de sens `a cette ´egalit´e pour le moment, mais c"est bien consistant avec la notation
de Leibniz dx ,d (t). Le changement de variables s"utilise de deux fa¸cons pour calculer des primitives.