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Master 1 de Math´ematiques

Universit´e d"Artois

Exercices d"Analyse Fonctionnelle

P. Lef`evre

Analyse Fonctionnelle.2

1 R´evisions de topologie.

Exercice 1.1 Cours :a) Soient?f?1=?

0|f(t)|dtet?f?∞= sup

t?[0,1]|f(t)|. Montrer que ces normes ne sont pas ´equivalentes surC([0,1]). b) Montrer que (C([0,1]),?.?1) n"est pas complet (Ind. : consid´erer par exemple une suite de fonctions qui vaut-1 sur [0,1/2-1/n] et 1 sur [1/2 + 1/n,1])

Montrer que (C([0,1]),?.?∞) est complet.

c) Soient (E,?.?) et (F,?.??) deux e.v.n. Montrer que pour toutT? B(E,F), Exercice 1.2 In´egalit´es de H¨older et Minkowski. Soitp >0. On rappelle que?p={(an)?CN;?|an|p<+∞}et?(an)?p= (?|an|p)1p est alors d´efini sur?p.

Pourp= +∞:?∞={(an)?CN; sup

n|an|<+∞}et?(an)?∞= sup n|an|est alors d´efini sur ∞. Enfin,c0={(an)?CN; limnan= 0}.

Soientp,q≥1 tels que1p

+1q = 1. xp+1q yq.

ii) En d´eduire l"in´egalit´e de H¨older : pour touta??pet toutb??q, montrer queab??1avec

b) En d´eduire l"in´egalit´e de Minskowski, c"est `a dire l"in´egalit´e triangulaire pour la norme

?.?p(Indication : on pourra par exemple utiliser l"in´egalit´e de H¨older apr`es avoir remarquer que

c) Montrer que l"espace?pmuni de la norme?.?pest un espace de Banach. Mˆeme question pour (c0,?.?∞). Exercice 1.3a) Montrer que dans un espace vectoriel norm´e, l"adh´erence d"une boule ouverte

est la boule ferm´ee associ´ee et que l"int´erieur d"une boule ferm´ee est la boule ouverte associ´ee.

b) Le r´esultat est-il encore vrai dans un espace m´etrique ? Exercice 1.41) Soit (E,?.?) un espace vectoriel norm´e.Fun sous-espace deE. On consid`ere l"application

N:E/F-→R+

x?-→infy?x?y? i) Montrer queNest une semi-norme surE/F. D´ecrire lesx?Etels queN(x) = 0. ii) A quelle condition surF, (E/F,N) est un espace vectoriel norm´e ? Sous cette condition, montrer que la surjection canonique est continue, puis que siEest un espace de Banach, alors E/Faussi (on rappelle qu"un espace est Banach ssi toute s´erie normalement convergente est convergente).

2) Soitfune application lin´eaire de rang fini surE. Montrer quefest continue si et seulement

si Kerfest ferm´e.

Analyse Fonctionnelle.3

Exercice 1.5On consid`ereCc(R) l"espace des fonctions continues surR`a support compact. Montrer que les normes?.?1,?.?2et?.?∞ne sont pas comparables sur cet espace. Exercice 1.6Montrer que l"application suivante est continue (on calculera la norme; montrer qu"elle n"est pas atteinte) ?:c0-→R u?-→? n?Nu n2 n+1 Exercice 1.7SoitKune partie non vide deRn, convexe, compacte, sym´etrique par rapport `a

0 telle que 0 soit un point int´erieur. On veut montrer qu"il existe une normepsurRntelle queK

soit la boule unit´e deRnpourp. On introduit la jauge de Lorentz-Minkowski :p(x) = inf{t >0|xt ?K}. Montrer quepest une norme qui r´epond au probl`eme. Pour cela, i) Montrer quep(x) = 0 ssix= 0. ii) Pourxnon nul, montrer quep(x)-1x?K. iii) Pourxnon nul ett >0, montrer quep(tx)≥tp(x). En d´eduire :?x?Rn,?t?R, p(tx) =|t|p(x). iv) Montrer que sixetysont non nuls,x+yp(x)+p(y)?K. v) Conclure. Exercice 1.8On veut montrer que?∞est non-s´eparable. On suppose qu"il existe une partie d´enombrable dense (vn)n≥1. Soitxune suite `a valeurs 0 ou 1. On noteωx=◦B(x,12

1) Montrer quex?=x??ωx∩ωx?=∅.

2) Montrer que pour toutx? {0,1}N, il existe un entiern(x) tel quevn(x)?ωx. Justifier que

pourx?=x?, on an(x)?=n(x?).

3) En d´eduire que{0,1}Ndevrait alors ˆetre d´enombrable et conclure (on pourra faire un

raisonnement via la diagonale de Cantor). Exercice 1.9Montrer qu"il existe une suite deL1convergente vers 0 mais qui ne converge pas presque partout vers la fonction nulle. Indication : on pourra consid´erer des fonctions car- act´eristiques de sous-intervalles dyadiques de [0,1] : les intervallesIj,n=?j2quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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