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Analyse Fonctionnelle - TD4 1
Master Mathématiques et Applications1ereannée Aix-Marseille UniversitéAnnée 2015-2016
Analyse Fonctionnelle
TD 4 : Grands théorèmes de l"analyse fonctionnelleAvec corrigés
Les numéros de Théorèmes, Propositions, etc ... font référence aux notes de cours. Exercice 1Soit(X;d)un espace métrique complet et un ouvert deX. Montrer que( ;d)est un espace de Baire.Corrigé :On remarque déjà que(
;d)n"est pas complet en général (pour cela il faudraitque soit fermé d"après la Proposition I.29 ) donc, on ne peut pas appliquer directement le théorème de Baire.En revanche, si on note
l"adhérence de dans(X;d), l"espace( ;d)est un sous-espace fermé d"un espace complet, c"est donc un espace complet (Proposition I.29Soit(Un)nune famille d"ouverts denses de(
;d). Comme est lui-même ouvert dans(X;d), lesUnsont des ouverts de(X;d)et donc des ouverts de( ;d)vu que U nP arail leurs,pour tout n,Unest dense dans
. En effet, six2 et" >0, il existey2 tel qued(x;y)"=2et commeUnest dense dans , il existez2Untel qued(y;z)"=2. Il s"en suit que d(x;z)d(x;y) +d(y;z)"=2 +"=2 ="; et le résultat est démontré. Ainsi, la f amille(Un)nest une famille d"ouverts denses dans l"espace complet( ;d)et donc le théorème de Baire nous dit que l"intersectionT n0Unest également un ensemble dense dans . Comme c"est un sous-ensemble de , il est clair que c"est également un sous-ensemble dense de .Exercice 2Soit(X;d)un espace métrique complet. On suppose queXs"écrit comme réunion dénombrable des fermés
(Fn)n, alors l"ensemble n F n; est un ouvert dense dansX.F. BOYER- VERSION DU11DÉCEMBRE20152 Analyse Fonctionnelle - TD4
Corrigé :
Comme est une réunion d"ouverts, c"est bien sûr un ouvert. Il s"agit de montrer la densité de dansX.Pour toutn, on note~Fn=Fn\
c;qui est un fermé deX(car intersection de deux fermés). On va montrer qu"il est d"intérieur vide. En effet, siUest un
ouvert contenu dans~Fn, alors nous avons UFn U c: