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République Algérienne Démocratique et Populaire UniǀersitĠ des Sciences et de la Technologie d'Oran Mohamed BOUDIAF

Faculté des Mathématiques et Informatique

Département de mathématiques

Notes de Cours et exercices corrigés

d'Analyse numérique I

Présentée par

Dr. Nassima KHALDI

U.S.T.O 2018/2019

Table des matières

Introduction 3

1 Notions d"erreurs 4

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2 Erreurs absolue et relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.1 Erreur absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2.2 Erreur relative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2.3 Majoration des erreurs absolue et relative . . . . . . . .

5

1.3 Chiffres significatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4 Arrondissement et représentation des nombres . . . . . . . . . .

9

1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

1.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2 Interpolation polynomiale 14

2.1 Existence du polynôme d"interpolation . . . . . . . . . . . . . .

14

2.2 Erreur d"interpolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.3 Interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

2.4 Interpolation de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2.4.1 Relation entre différence divisées et les dérivées . . . . .

23

2.4.2 Erreur d"interpolation de Newtom . . . . . . . . . . . .

23

2.4.3 Interpolation de Newton dans le cas équidistant . . . . .

24

2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.6 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3 Dérivation et intégration numérique 33

3.1 Dérivation numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

3.1.1 Utilisation de la formule de Taylor . . . . . . . . . . . .

33

3.1.2 Utilisation des formules d"interpolation . . . . . . . . .

35

3.2 Erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.1 Dérivée premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

3.2.2 Dérivée second d"ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

3.3 Integration numérique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39
1

3.3.1 Méthodes des rectangles . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3.3.2 Méthode des Trapèzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3.3.3 Méthode de Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

3.3.4 Erreurs de quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3.5 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4 Résolution d"équations algébriques 51

4.1 Méthode de Dichotomie (ou bissection) . . . . . . . . . . . . .

51

4.1.1 Etude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

4.2 Méthode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54

4.2.1 Etude de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

4.3 Méthode de point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57

4.4 Exercies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

4.5 Corrigés des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

62

Bibliographie 66

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