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Pierre COLMEZ

ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET

D"ALGÈBRE

Pierre COLMEZ

C.M.L.S., École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex, France.

ÉLÉMENTS D"ANALYSE ET D"ALGÈBRE

Pierre COLMEZ

SYNOPSIS

Introduction...................................................................... 1 Vocabulaire Mathématique..................................................... 9 I. Représentations des groupes finis...........................................245 II. Espaces de Banach...........................................................283 III. Intégration..................................................................315 IV. Transformée de Fourier.....................................................351 V. Fonctions holomorphes......................................................377 VI. La formule de Cauchy et celle des résidus (de Cauchy).................403 VII. Séries de Dirichlet.........................................................427 A. Le théorème des nombres premiers........................................459 B. Volume deSLn(R)=SLn(Z)...................................................481 C. Groupes finis et représentations : exemples...............................497 D. Fonctions d"une variablep-adique..........................................513 E. Irrationalité d"une infinité de(2n+ 1)....................................531 F. Le problème des nombres congruents......................................541 G. Introduction au programme de Langlands................................559 H. Problèmes corrigés...........................................................595

TABLE DES MATIÈRES

Introduction....................................................................................... 1

Vocabulaire Mathématique...................................................................... 9

1. Grammaire élémentaire........................................................................ 10

2. Structures algébriques......................................................................... 17

3. Groupes finis................................................................................... 40

4. Polynômes..................................................................................... 51

5. Algèbre linéaire................................................................................ 65

6. Déterminants.................................................................................. 76

7. Matrices ...................................................................................... 79

8. Fragments de théorie des corps (commutatifs)................................................. 94

9. Systèmes d"équations..........................................................................106

10. Réduction des endomorphismes...............................................................116

11. Topologie.....................................................................................135

12. Compacité....................................................................................146

13. Connexité.....................................................................................155

14. Complétude...................................................................................159

15. Séries numériques.............................................................................164

16. Convergence de fonctions.....................................................................174

17. Espaces vectoriels normés.....................................................................176

18. Espaces préhilbertiens........................................................................181

19. Tératologie...................................................................................193

20. Construction de nombres.....................................................................200

21. Corrigé des exercices..........................................................................212

I. Représentations des groupes finis............................................................245

I.1. Représentations et caractères.................................................................247

I.2. Décomposition des représentations...........................................................254

I.3. Construction de représentations..............................................................270

II. Espaces de Banach............................................................................283 II.1. Espaces de Banach..........................................................................283

II.2. Espaces de Hilbert...........................................................................299

II.3. Exercices....................................................................................307

TABLE DES MATIÈRESvii

II.4. Espaces de Banachp-adiques................................................................310

III. Intégration....................................................................................315

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