Cours caractéristiques des sections
Notre section n’ayant pas de poids, on considérera qu’elle est soumise à une charge uniformément répartie • Moment statique : Moment de renversement de la section lorsque celle-ci est soumise à une charge surfacique de 1 (sans unité Ce n’est donc pas exactement un moment, mais le principe est le même) 5 2) Moments statiques :
SBENSAADA - F2School
Section circulaire 32 4 0 D I Section rectangulaire (2) 0 12 b h bh I Section en T I 0 = 2033333 mm 4 TRAVAIL DEMANDE Pour chaque type de section : Calculer le moment quadratique I 0 s’il n’est pas donné, Section circulaire Section rectangulaire Section en T I 0 = 2033333 mm 4 Calculer la valeur de cette contrainte tangentielle en fonction
PROPRIÉTÉS DES SECTIONS
le théorème des axes parallèles est alors très utile Comme par exemple, la section en T du premier exemple, si on veut savoir le moment d'inertie de la surface totale, on doit utiliser le théorème, c'est ce que nous ferons dans le prochain exemple EXEMPLE 8 3: Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section en T ci-
RDM : FLEXION des POUTRES
Pour caractériser ce comportement, on utilise une grandeur appelée moment quadratique : Le moment fléchissant qui crée la déformation se situant sur l’axe Z, on note le moment quadratique : I Gz Pour une section rectangulaire : I Gz = ???? ℎ3 12 Pour une section circulaire I Gz = ???? 4 64 x y z h b
TORSION SIMPLE - AlloSchool
(Moment quadratique polaire) (Figure 31) Le moment quadratique polaire est défini par: 2 2 4 0 ( ) s I d S d dS en mm 2 2 2 or d d d xy 2 2 2 2 0 x y x y s I d d S d d dS donc I I I: 0 0 0 xy Exemple : cas d’une surface circulaire de rayon R = D/2 Calculons le moment quadratique polaire de l’élément de surface ΔS,
Cours RDM: Torsion simple - Technologue Pro
2 est par définition le moment quadratique polaire de la surface S par rapport à son centre de gravité G Il est noté IG qui dépend de la forme et des dimensions de cette section La relation entre le moment et la déformation (équation de déformation) est: Mt=GθIGz Il en découle r I M G t τM = ou r I M G t τM =
II - 5 Flexion pure - Personal Homepages
moment d’inertie par rapport aux axes x et y (toujours > 0) produit d’inertie (nul si axe de symétrie) moment d’inertie polaire = ∫ A 2 Ix y dA = ∫ A 2 Iy x dA = ∫ A Ixy xydA = ∫ A 2 Ip r dA Ip = Ix + Iy (Frey, 1990, Vol 1) Flexion pure II - 5 - 18 Moment d’inertie d’un rectangle 3 bh I y dA y bdy h 3 0 2 A 2 xbase
RDM 3IC – I3ICMT12 Travaux dirigés
2 Section mince carrée de côté ˝ et d’épaisseur ˛ (tube carré) Exercice 9 – Séance 10 On étudie ici une poutre droite (arbre), de section circulaire (pleine ou creuse) soumise à un moment de torsion ˘˚ Le matériau utilisé a une contrainte admissible ˜ et "# $ & 1
MÉCANIQUE 1/2 1
MOMENTS D’INERTIE Masse ponctuelle J = M R2 Cylindre plein J = 1 2 M R2 Cylindre annulaire J = 1 2 M ( R1 2 - 2 2) Cylindre annulaire mince J = M
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PROPRIÉTÉS DES SECTIONS
8.1.1 Généralités
Dans l'étude des déflexions des poutres ainsi que du flambage des colonnes, on est amené à utiliser
l'une ou l'autre des propriétés des sections droites, qui sont des caractéristiques purement
géométriques. On retrouve: • Axe neutre d'une surface; • Centre de gravité d'une surface; • Moment statique d'une surface; • Moment d'inertie; • Module de section; • Rayon de giration.8.1.2 Surface neutre et axe neutre
Lorsqu'une poutre est soumise à des forces qui tendent à la courber, les fibres situées a u-dessus (ouau-dessous) d'un certain plan de la poutre sont en compression et elles se raccourcissent, tandis que
les fibres situées au-dessous (ou au-dessus) de ce plan sont tendues et elles s'allongent. Le plan
intermédiaire en question est appelé surface neutre de la poutre (voir figure 8.1).Pour une section droite de la poutre, la li
gne correspondant à la surface neutre s'appelle axe neutrede cette section. L'axe neutre passe toujours par un point particulier "cg" de la section droite d'une
poutre nommé centroïde ou centre de gravité de cette section. 137Axe neutre (A.N.): C'est le plan qui ne subit aucun allongement pendant la flexion d'une poutre.
Fig. 8.1
L'axe neutre A.N. passe par le centre de gravité ou centroïde.8.1.3 Centre de gravité (cg)
Le centre de gravité (cg) ou centroïde d'un corps ou d'une surface est un point imaginaire où toute
cette surface peut être considérée comme concentrée. C'est aussi le point où le poids d'un corps est
concentré.Si un corps est homogène, c'est-à-dire constitué d'un seul matériau, le cg dépend seulement de la
forme du corps. Si un corps possède un axe de symétrie, son cg est situé sur cet axe (fig. 8.2).
Fig. 8.2
138L'axe de symétrie partage le corps en deux parties de même surface, de même poids. Si un corps
possède au moins deux axes de symétrie (ou médiane), son cg se trouve au point d'intersection de
ces axes. Le cg n'est pas toujours dans la matière. La figure 8.3 illustre le centre de gravité de
différentes surfaces régulièrement utilisées.Fig. 8.3
La position de quelques autres surfaces est donnée dans les tableaux à la fin du chapitre. D'autres cas
particuliers peuvent être retrouvés dans les "Handbooks" ou livres spécialisées. 1398.2 MOMENT D'INERTIE
8.2.1 Moment d'inertie
Considérons une surface plane A dans laquelle
un élément de surface a i infiniment petit est indiqué. Cet élément se trouve à une distance d i d'un axe quelconque "o". On appelle moment d'inertie I i de l'élément de surface a i par rapport à l'axe considéré "o", le produit de cet élément par le carré de la distance d i A a i d i oFig. 8.7
I i(o) = a i x d i 2 (8.3 a) Si la surface A est subdivisée en N éléments infiniment petits a 1 , a 2 , a 3 , ... , a N dont les distances respectives à l'axe sont d 1 , d 2 , d 3 , ... , d N alors le moment d'inertie de cette surface par rapport au même axe "o" est donné par la relation suivante: I o = I 1(o) + I 2(o) + ... + I N(o) I o = a 1 d 1 2 + a 2 d 2 2 + ... + a N d N 2 I o = a i d i 2 [m 4 ] (8.3) Le moment d'inertie des sections droites est d'une grande importance dans la conception des poutreset colonnes. Les tableaux à la fin du chapitre portant sur les propriétés des sections donnent des
valeurs des moments d'inertie de plusieurs profilés d'acier fréquemment utilisés dans la construction.
140Les autres moments d'inertie peuvent être trouvés dans des "handbooks". La figure suivante donne
quelques moments d'inertie de figures communes. cg axe b h I cg b h 3 12 cg axe I cg d 4 64b h cg axe I cg b h 3 36
Fig. 8.8
8.2.2 Théorème des axes parallèles
Si on connaît le moment d'inertie d'une surface par rapport à un axe qui passe par son centre de
gravité, on peut connaître son moment d'inertie par rapport à tout autre axe parallèle à ce dernier. Il
suffit d'ajouter la quantité As 2à son I
cgThéorème des axes parallèles:
I = I cg + As 2 (8.4) où s = distance entre l'axe choisi et l'axe qui passe par le cg.A = aire de la section
I cg = moment d'inertie par rapport à un axe qui passe par le cg. 141EXEMPLE 8.2: Calculer le moment d'inertie du rectangle ci-dessous par rapport à l'axe z passant par sa base.
Solution:
I z = I cg + As 2 b h 3 12 + (bh) h 2 2 b h 3 12 bh 3 4 b h 3 3 cg b h z h/2Fig. 8.9
Pour les sections complexes ou composées de plusieurs sections simples, le moment d'inertie estégal à la somme des moments d'inertie de chacune des sections. Si la surface composée possède une
surface creuse, le moment de la section creuse est alors négatif. Dans le cas des surfaces composées,
le théorème des axes parallèles est alors très utile. Comme par exemple, la section en T du premier
exemple, si on veut savoir le moment d'inertie de la surface totale, on doit utiliser le théorème, c'est
ce que nous ferons dans le prochain exemple. EXEMPLE 8.3: Calculer le moment d'inertie par rapport à l'axe neutre de la section en T ci- dessous. (fig. 8.10)Solution:
Nous avions déjà trouvé le cg de la surface totale dans le premier exemple, on sait que l'axe neutre passe par le centre de gravité. Maintenant on veut le moment d'inertie par rapport à cet axe. I AN = IAN(surface 1)
+ IAN(surface 2)
IAN(surface 1)
= I cg1 + A 1 s 1 2 IAN(surface 2)
= I cg2 + A 2 s 2 2 1 cm4,5 cm
A 22,59 cm
2 cm 5 cm 6 cm A.N. cg A 1Fig. 8.10
142I cg1