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www mathsenligne net PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITE EXERCICES 2D EXERCICE 2D 1 1 On considère un triangle ABC rectangle en A Ecrire la relation de Pythagore pour ce triangle 2 a On note u = AB et v = AC Démontrer que dans ce cas BC = v – u (Remarque : puisque le triangle est rectangle en A, on dit que les vecteurs u et v sont
Produit scalaire - F2School
Produit scalaire 1 Produit scalaire de deux vecteurs 1 1 Définition Définition : Soient et deux vecteurs non nuls Soient A, B et C des points tels que : et Soit H le projeté orthogonal de C sur (AB) On appelle produit scalaire de et et on note (qui se lit scalaire ) le réel définit par :
PRODUIT SCALAIRE (Partie 2)
I Produit scalaire et orthogonalité 1) Vecteurs orthogonaux Propriété : Les vecteurs "⃗ et $⃗ sont orthogonaux si et seulement si "⃗ $⃗=0 Démonstration : Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente Supposons le contraire "⃗ $⃗=0 ‖"⃗‖×‖$⃗‖×+,-("⃗ ; $⃗)=0 +,-("⃗ ; $⃗)=0 Les
Espace : produit scalaire et plans
TS2 Géométrie élémentaire de l’espace partie 2 : Le produit scalaire et plans de l’espace avril 2020 Caractérisationde l’orthogonalité Les vecteurs →u et →v sont orthogonaux ⇐⇒ →u ·→−v = 0
Le produit scalaire - Maths Exercices
Définition du produit scalaire de deux vecteurs Définition 6 Le produit scalaire de deux vecteurs u et v, noté u v , est le nombre réel défini par : u V = Hull Il V Il cos (u, V), si u et v sont non nuls ; e u v = 0, si u=00u v = 0 On appelle carré scalaire de u le nombre = llu 112 REMARQUES :
Chapitre 7 : Produit scalaire de deux vecteurs du plan
I) Produit scalaire de deux vecteurs a) Définition u et v sont deux vecteurs du plan, on appelle produit scalaire de u par v , le nombre réel noté u v égal à : • 0 si l’un des vecteurs est nul • II u II ××××II v II ××× COS ( u, v ) si u ≠ 0 et v ≠ 0 Remarques : • Si les deux vecteurs u et v sont orthogonaux, alors cos
Première S - Propriétés de calcul du produit scalaire
III) Projection orthogonale et produit scalaire: 1) Définition: (d) est une droite et M un point du plan Le projeté orthogonal de M sur la droite (d) est le point H intersection de la perpendiculaire à (d) passant par le point M et de (d) 2) Propriété • Les vecteurs et sont non nuls tel que et Alors
PRODUIT SCALAIRE de lespace
Leçon : PRODUIT SCALAIRE dans l’espace Présentation globale 1) Le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace 2) Vecteurs orthogonaux 3) Produit scalaire et norme 4) repère orthonormé de l’espace base orthonormé de l’espace 5) analytique du produit scalaire dans l'espace 6) L'ensemble des points dans l'espace tq : u AM k
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PRODUIT SCALAIRE - Chapitre 2/2
Tout le cours en vidéo : https://youtu.be/dII7myZuLvoPartie 1 : Produit scalaire et orthogonalité
1) Projeté orthogonal
Propriété : Les vecteurs ⃗ et ⃗ sont orthogonaux si et seulement si ⃗.⃗=0.
Démonstration :
Si l'un des vecteurs est nul, la démonstration est évidente.Supposons le contraire.
⃗.⃗=0 =0 =0 ⟺ Les vecteurs ⃗ et ⃗ sont orthogonauxDéfinition : Soit une droite d et un point M.
Le projeté orthogonal du point M sur la droite d est le point d'intersection H de la droite d avec la perpendiculaire à d passant par M.Propriété : Soit
et deux vecteurs non nuls. est le projeté orthogonal du point sur la droite ().On a :
Démonstration :
8, d'après la relation de Chasles.
En effet, les vecteurs
et sont orthogonaux donc =0. 2 Méthode : Calculer un produit scalaire par projectionVidéo https://youtu.be/2eTsaa2vVnI
Vidéo https://youtu.be/K4Izn5xB_Qk
Vidéo https://youtu.be/-Hr28g0PFu0
Soit un carré de côté 4.Calculer les produits scalaires :
a) b) c)Correction
a) est le projeté orthogonal de sur (), alors : =4 =16 b) =0 car les vecteurs et sont orthogonaux. c) Comme , on a : =-162) Transformation de l'expression
Propriété : L'ensemble des points vérifiant l'égalité =0 est le cercle de diamètreDémonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/D3n8aYsSQLA
Soit le milieu du segment [].
On a :
=08.
8=0 Comme est le milieu de [], on a :Soit :
8.
8=0 =0 car =0Soit :
soit encore =.appartient donc au cercle de centre et de rayon , c'est-à-dire le cercle de diamètre
3Comme
=0, les vecteurs et sont orthogonaux. L'ensemble des points tel que le triangle soit rectangle en est donc le cercle de diamètre []. Méthode : Appliquer l'égalité =0Vidéo https://youtu.be/bUARS-dthLM
On donne deux points et B.
Représenter l'ensemble des points , tel que :Correction
=0 =0 8=0 8=0 =0, d'après la relation de Chasles. L'ensemble des points est donc le cercle de diamètre []. Partie 2 : Produit scalaire dans un repère orthonormé Dans cette partie, le plan est muni d'un repère orthonorméPropriété : Soit ⃗
et ⃗H J deux vecteurs. On a : ⃗.⃗= Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (1)Vidéo https://youtu.be/aOLRbG0IibY
Soit ⃗
5 -4 et ⃗ -3 7 deux vecteurs. Calculer ⃗.⃗Correction
⃗.⃗=5× -3 -4×7=-15-28=-43
4 Méthode : Calculer un produit scalaire à l'aide des coordonnées (2)Vidéo https://youtu.be/cTtV4DsoMLQ
On considère quatre points
2 1 5 3 1 4 et 5 -2 Démontrer que les droites () et () sont perpendiculaires.Correction
- Calculons les coordonnées des vecteurs et 5-2 3-1 3 2 et 5-1 -2-4 4 -6 - Calculons le produit scalaire des deux vecteurs : =3×4+2× -6 =12-12=0 - Le produit scalaire est nul donc les vecteurs et sont orthogonaux. Et donc, les droites () et () sont perpendiculaires. Méthode : Appliquer plusieurs formules du produit scalaireVidéo https://youtu.be/Ok6dZG8WIL8
Calculer la mesure de l'angle
P en calculant le produit scalaire de deux façons. On pourra lire les coordonnées des points , , et dans le repère ci-contre.Correction
En calculant le produit scalaire avec la formule du cosinus, on a : P 8Or : =
5 +1 25+1=26
U 2 +4 4+16= 20